Demuestre que la ecuación$x^3 + 117y^3 = 5 $ no tiene una solución entera$x, y$

Question

Demuestre que la ecuación$x^3 + 117y^3 = 5 $ no tiene una solución entera$x, y$.

Estoy luchando con este problema. Esto es solo una práctica extra así que no es una trampa, pero realmente quiero ser capaz de resolver este problema ya que es una preparación para un examen.

Answer 1

Módulo$9$, esta ecuación se convierte en$x^3\equiv 5\pmod{9}$, porque$9|117$. Sin embargo, todos los cubos modulo$9$ son equivalentes a$\pm 1$ o a$0$, por lo que es imposible.

Sé que a veces soluciones como estas parecen "de la nada". Primero pensé en ello modulo$2$ y modulo$3$, y cuando revisé que$3|117$, noté que$9$ también lo hizo, y lo intenté.

Answer 2

Otro publicado respuesta utiliza la propiedad de $\,117\,$ que es un múltiplo de a $\,9\,$, por lo que se generaliza el resultado de las ecuaciones de la forma $\,x^3 + 9k \,y^3 = 5\,$.

Los siguientes usos otra propiedad de $\,117\,$, es decir, que puede ser escrito como la diferencia de dos cubos $\,117=5^3-2^3\,$. El paso clave es tener en cuenta que:

la ecuación de $\,a^3+b^3+c^3 = n\,$ no tiene ningún entero soluciones si $\,n \equiv \pm 4 \bmod 9\,$

El de arriba sigue de la misma observación que todos los cubos son de $\,0\,$ o $\,\pm 1 \bmod 9\,$, y se ha discutido sobre el MSE, antes de que, por ejemplo aquí o aquí.

A continuación, se deduce que el $\,x^3 + 117y^3 = 5 \iff x^3 + \left(5y\right)^3+ \left(-2y\right)^3 = 5\,$ no tiene ningún entero soluciones desde $\,5 \equiv -4 \bmod 9\,$.

Esto generaliza el resultado de las ecuaciones de la forma $\,x^3 + N \, y^3 = 5\,$ donde $\,N\,$ es cualquier número entero que puede ser expresado como la suma o diferencia de dos cubos. La clase de los enteros $\,N\,$ con la propiedad que se describe en esta respuesta que hace referencia el documento de Caracterización de la Suma de Dos Cubos.

Answer 3

Mediante la resolución de $x^3 + 117y^3 \equiv 5 \mod n$ podemos obtener una serie de equivalencia de la clase de soluciones que eventualmente poner restricciones sobre las posibles soluciones con la esperanza de eventualmente a contradecir o a resolver.

Ex. $x^3 + 117y^3 \equiv 5 \mod 2 \implies x+y\equiv 1 \mod 2$ significado $x$ $y$ son opuestas a la paridad. (que no nos ayuda mucho). $x^3 + 117y^3 \equiv 5 \mod 3\implies x \equiv -1 \mod 3$ (que no nos ayuda en mucho, pero se combina con la $\mod 2$ resultado muestra $x$ $y$ están enfrente de la paridad y de la $x \equiv -1 \mod 3$. Con suerte va a llegar a alguna parte.)

Como $117 = 13*9$, modulo $9$ $13$ podría estar diciendo como podría modulo $5$.

$x^3 + 117y^3 \equiv 5 \mod 9\implies x^3 \equiv 5 \mod 9$ y tomando a $9$ muestras podemos decir que no hay tal. Si $9$ cálculos es demasiado para hacer, no podemos si $x \equiv 3i + j\mod 9; i,j = 0,\pm 1$$x^3 = \sum {3\choose k}(3i)^kj^{3-k} \equiv j^3 \equiv 0, \pm 1 \not \equiv 5 \mod 9$.