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amplitud de roldanas invertibles

Permita que$f: X\rightarrow Y$ sea un morfismo de esquemas sobre un campo$k$. Permita que$\mathcal{L}$ sea una gavilla invertible. Mi qeustion es

  1. Si$\mathcal{L}$ es suficiente, entonces$f^*\mathcal{L}$ es suficiente?

  2. Si 1. no es verdadero, ¿existe la condición de que$f^*\mathcal{L}$ sea suficiente?

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Dori Bejleri Puntos 2574

Echa un vistazo Hartshorne excersise III.5.7. Entre otras cosas, se demuestra la siguiente:

Supongamos $X$ $Y$ son correctos. Si $\mathcal{L}$ es amplio en $X$ $i: Y \to X$ es un cerrado de inmersión, a continuación, $i^*\mathcal{L}$ es amplio en $Y$. Además, si $f:X \to Y$ es un buen finito surjective de morfismos y $\mathcal{L}$ es cualquier línea de paquete en la $Y$, $\mathcal{L}$ es amplio si y sólo si $f^*\mathcal{L}$ es suficiente. Más en general, poniendo a estos dos hechos juntos, conseguimos que los si $f$ sólo es finito y $\mathcal{L}$ es suficiente, a continuación, $f^*\mathcal{L}$ es suficiente.

Las pruebas de estos utilizan el cohomological criterio de amplitud (véase la proposición III.5.3 en Hartshorne), que dice que $\mathcal{L}$ es amplio en $X$ (donde $X$ es correcto) si y sólo si para cada coherente gavilla $\mathcal{F}$ existe un $n_0$ tal que

$$ H^i(X,\mathcal{F} \otimes \mathcal{L}^{\otimes n}) = 0 \enspace \enspace \enspace \forall \enspace i > 0,\enspace n > n_0 $$

Poniendo esto junto con el hecho de que el pushforward afín a lo largo de morfismos conserva cohomology, adecuada morfismos de preservar la coherencia y el número limitado de morfismos satisfacer la proyección de la fórmula, obtenemos la prueba.

Usted definitivamente necesidad de fuertes condiciones como este para asegurarse de que el retroceso es bastante amplio. Mi conjetura es que hay contraejemplos si debilitamos cualquiera de las condiciones aunque no puedo pensar en algunos de inmediato. Voy a añadir algunos si lo hago.

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