Si $f $ es real valorada; Que $A =\{x : f(x)>x\}.$ prueba que $\sup A \in A.$

Question

Deje $f$ ser un valor real de la función definida en $[0,1]$ tal que $f(0)>0, f(x) \ne x ~\forall x,$ $f(x) \leq f(y)$ siempre $x \le y.$ Deje $A =\{x : f(x)>x\}.$ Demostrar que $\sup A \in A.$

Intento: supongamos que $\sup A = a \notin A.$$f(a) \leq a$. Pero, desde entonces, $f(x) \ne x \implies f(a) < a~~~~ ..........(1)$

Ahora, por la definición de supremum, cada abierto balón $B(a,r) $ contiene al menos un elemento de a$y$$A$ . A continuación, $y \in B(a,r)$ .

Ya, $y \in A \implies f(y) > y ~~......(2)$

$ y < a$ $f$ es el aumento de $ \implies f(y) \leq f(a)~~~~~~........(3)$

De $(1),(2),(3) : y <f(y) \leq f(a)<a$

¿Cómo puedo traer alguna contradicción ahora?

Gracias por su ayuda..

Answer 1

Prueba directa: cualquier $x\in A$, tenemos $$ f (\sup A) \geq f (x) > x. $$ la primera desigualdad utiliza la monotonía y el segundo $x\in A$. Esto significa que el $f(\sup A)$ es un lowerBound $A$. En particular, $f(\sup A)\geq\sup A$. $f(\sup A)\neq \sup A$, Por lo que debemos tener $f(\sup A)>\sup A$. Es decir, $\sup A\in A$.

Answer 2

De su trabajo, tiene $y

Espero que ayude,

Answer 3

Desea utilizar que hay tal $y$ cada $r > 0$por ciento, y luego $a - r

$\forall r > 0 \ \left ( a - r

y esto produce la contradicción.

Edit: Para ver el último reclamo, escoge $r := a - f(a)$. $f(a) 0$. Luego evalúa $a - r