conmutar el álgebra de una representación irreductible

Question

Deje $V$ ser finito-dimensional espacio vectorial y $\rho$ un irreductible abelian representación de $G$$V$. Es el centralizador de $\rho(G)$ $End(V)$ necesariamente a (conmutativa) campo? (En particular, la conmutatividad es la única parte que no es inmediato.)

Motivación: a mí me parece que un resultado de este tipo se utiliza en Serre, el libro de $\ell$-ádico representaciones de curvas elípticas. En particular, estoy pensando en aplicaciones donde la $V$ es la Tate de un módulo abelian variedad y $G$ es un absoluto grupo de galois de algunas campo base, y la representación está dada por la costumbre Galois de acción.

Answer 1

Como está implícito en la pregunta, el hecho de que el centralizador es una división de álgebra es automática, por la costumbre Schur del Lema argumento.

Llamar a esta división de álgebra $D$; a continuación, $V$ es isomorfo a $D^n$ algunos $n$, y por el doble centralizador teorema, la imagen del anillo de grupo de $G$ $M_n(D)$ (actuando en la derecha, así que en realidad yo debería escribir $M_n(D^{op})$). Pero esta imagen es un anillo conmutativo (por el supuesto de que el representante de n'es abelian), por lo $n = 1$ $D$ es en realidad un conmutativa de campo.

Answer 2

¿Qué es una representación abeliana? Si$\rho$ es una representación irreducible, entonces$\text{End}_G(V)$ es un álgebra de división sobre el campo base$k$ según el lema de Schur . No es necesariamente un álgebra de división conmutativa; por ejemplo, si$k = \mathbb{R}$, entonces una de las posibles opciones es el quaternions$\mathbb{H}$.