límite de una secuencia de funcionales

Question

Considere una secuencia de % funcionales $(f_n)$, $fn(x)=\int{-1}^1x(t)\cos(nt)dt,\ n\geq 1$, en el espacio $L_2(-1,1)$. Necesito demostrar que $f_n(x)\to 0$, $n\to\infty$, para todos los $x\in L_2(-1,1)$.

Sé que $\int_{-1}^1\cos(nt)dt\to 0$, que $n\to\infty$ y trató de extraer este término como un multiplicando (aplicando la desigualdad de Holder) pero sin éxito.

¿O tal vez debería tener en cuenta que $L_2(-1,1)$ es un espacio de Hilbert y de alguna manera utilizar la forma general de funcionales lineales continuos allí?

Answer 1

De dos maneras (o más) para resolver el problema:

Primero: con el análisis, utilizando el hecho de que el conjunto de continua de funciones diferenciables es denso en $L_2(-1,1)$. A continuación, tome $x\in L_2(-1,1)$, e $\{y_k\}\subset C^1(-1,1)$ que converge a$x$$L_2(-1,1)$. Entonces \begin{align*} |f_n(x)|&\leq |f_n(x-y_k)|+|f_n(y_k)| \\ &\leq \sqrt 2||x-y_k||_{L^2}+ \left|\frac{y_k(1)\sin(n)-y_k(-1)\sin(-n)}n\right|+\left|\int_{-1}^1y_k'(t) \frac{\sin(nt)}ndt\right|\\ &\leq \sqrt 2||x-y_k||_{L^2}+\frac{|y_k(1)|+|y_k(-1)|}n+\frac 2n\sup_{-1\leq t\leq 1}|y_k'(t)| \end{align*} y para todos $k$: $\limsup_n|f_n(x)|\leq \sqrt 2||x-y_k||_{L^2}$ así que se puede concluir.

Segundo: utilizando sólo la teoría de la medida de los hechos:

1. Demostrar que $$\mathcal B:=\left\{A\subset (-1,1),\lim_{n\to \infty}\int_A\cos(nt)dt=0\right\}$$ es una $\sigma$-álgebra.
2. A la conclusión de que para todos los Borel medible $B\subset (-1,1)$ tenemos $\lim_{n\to \infty}\int_B\cos(nt)dt=0$.
3. Demostrar que para toda función simple $s$ tenemos $\lim_{n\to \infty}\int_{(-1,1)}s(t)\cos(nt)dt=0$.
4. A la conclusión.