Deje $U=(0,1)\times(0,1)$. Considerar la elíptica valor en la frontera problema en este dominio: $$ \Delta^2u = f, $$ donde$u: U\rightarrow \mathbb{R}$$f\in L^2(U)$. Las condiciones de frontera son: $u(x,y) = \Delta u(x,y) = 0$$(x,y)\in\partial U$. Se suponía que iba a resolver este problema mediante la primera resolución de la correspondiente ecuación de valores propios, es decir,$\Delta^2 \phi = \lambda \phi$, y, a continuación, realizar una expansión de la u en estas funciones propias. Por separación de variables encontré las siguientes funciones propias: $\phi = \sin(n\pi x)\sin(m\pi y)$$n,m\in\mathbb{Z}$, lo que mi maestro confirmado. La expansión de estas funciones propias es muy fácil, pero para mí el problema está demostrando que estas funciones propias formar una base para $L^2(U)$. Uno puede fácilmente demostrar que son ortogonales, pero demostrando que abarcan el espacio es mi mayor problema. Mi maestro estaba hablando acerca de la definición de una función en $(0,1/2)\times(0,1/2)$ y, a continuación, reflejo de algunas líneas para obtener u y demostrando así que abarcan el espacio. Esta explicación fue más allá de mí, así que espero que ustedes tienen uno mejor!
Respuesta
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SUGERENCIA: yo creo que el eigenfunction conjunto que has encontrado no es completa.
El conjunto de base de $L^2(0,1)$$\{e^{i k\pi x}\}_{k\in \mathbb{Z}}$. Cualquier $f\in L^2(0,1)$ puede ser escrita como: $$f(x) = \sum_{k = -\infty}^{\infty} f_k \,e^{ik\pi x},$$ donde $f_k$ es el coeficiente de Fourier.
En 2 espacio de dimensión caso, $U = (0,1)\times(0,1)$, el conjunto de base es $\{e^{im\pi x}e^{in\pi y}\}_{m,n\in \mathbb{Z}}$.
Usando la fórmula de Euler da $$\{\sin(m\pi x)\sin(n\pi y), \cos(m\pi x)\sin(n\pi y), \sin(m\pi x)\cos(n\pi y), \cos(m\pi x)\cos(n\pi y)\}_{m,n\in \mathbb{Z}}$$ como el posible conjunto de base para $L^2(U)$. Ahora para cualquier función en $L^2(U)$, intente encontrar su serie de Fourier de expansión a través de estas funciones. Si usted podría representar cualquier función en $L^2(U)$ como una expansión en el uso de estas funciones, estas funciones forman un conjunto de base para $L^2(U)$.
