Permita que$f$ sea una función completa que no sea un polinomio. Denota$M(r)=\max_{|z|=r}|f(z)|$. Muestra esa $\lim_{r\to\infty}\frac{M(r/2)}{M(r)}=0$.

Question

Deje $f$ ser toda una función que no es un polinomio. Denotar $$ M(r)=\max_{|z|=r}|f(z)|. $$ Mostrar que $$ \lim_{r\to\infty}\frac{M(r/2)}{M(r)}=0. $$

Creo que tengo una prueba de esto, pero estoy preocupada porque creo que no estoy usando la suposición de que $f$ no es un polinomio. Mi prueba es el siguiente:

En primer lugar, observe que \begin{align*} \log\left(\frac{M(r/2)}{M(r)}\right)&=\log M(r/2)-\log M(r)\\ &=-\frac{r}{2}\frac{d}{dr}\left(\log M(r)\right)\big|_{r=r_0} \end{align*} para algunos $r/2\leq r_0<r$ por el valor medio teorema. Deje $\log r=x$. Por Hadamard de los tres círculos teorema, $\log M(r)$ es una función convexa de $\log r$, es decir, $x$. Por lo tanto $\frac{d}{dx}\left(\log M(r)\right)>0$ para suficientemente grande $x$. La regla de la cadena se muestra $$ \frac{d}{dx}\left(\log M(r)\right)=e^x\cdot\frac{d}{dr}\left(\log M(r)\right). $$ Desde $\frac{d}{dx}(\log M(r)),e^x>0$ de las grandes $x$, $\frac{d}{dr}(\log M(r))>0$ para un gran$x$. Esto demuestra que $$ \lim_{r\to\infty}\log\left(\frac{M(r/2)}{M(r)}\right)=-\infty $$ y por lo $\lim_{r\to\infty}\frac{M(r/2)}{M(r)}=0$.

Podría alguien por favor me ilumine en donde mi prueba sale mal o donde me pueden sutileza uso de la asunción? Alternativa pruebas son bienvenidos. Gracias de antemano por tu tiempo.

Answer 1

Michael M. correctamente identificado el error: usted tiene $\frac{d}{dr}(\log M(r))>0$ grandes $r$, pero con el fin de concluir $$ \log M(r)-\log M(r/2) \to \infty $$ del valor medio teorema, usted necesita saber esto derivado tiende a infinito. Hasta ahora sólo tienes $\log M(r)-\log M(r/2) >0$.

Para solucionar este problema, aplicar el mismo argumento a $g(z)=f(z)/z^n$ donde $n$ es un entero grande. Esta función es holomorphic en $0<|z|<\infty$, por lo que los tres círculo teorema se aplica todavía. Desde $f$ no es un polinomio, $\log M_g(r)\to\infty$$r\to\infty$. Ser convexo, $\log M_g$ se debe aumentar el tiempo. Por eso, $\log M_g(r) > \log M_g(r/2)$ grandes $r$. Pero esto significa $\log M_f(r) > 2^n \log M_f(r/2)$ y desde $n$ fue arbitraria, la conclusión de la siguiente manera.