Cada variedad proyectiva hereda una estructura Kähler de una incrustación proyectivo, por la restricción de la métrica de Fubini-estudie. Aunque generalmente se admiten muchas estructuras Kähler. ¿Me preguntaba si cada estructura de Kähler, tal vez sólo hasta cohomología, puede obtenerse de este modo de incrustación de proyectivas?
¡Gracias!
La respuesta es no: Si $\omega$ es un Kahler métrica, entonces también lo es $c\omega$ todos los $c>0$. Pero muchos de ellos no son integrales: $c\omega \in H^2(X, \mathbb Z)$, por lo que muchos de ellos no puede ser presentado por el retroceso de Fubini-Estudio de la métrica (que tiene que ser parte integral de la clase).
Incluso si $[\omega]$ es una parte integral de la clase, la afirmación podría no ser cierto. Tenga en cuenta que desde $[\omega]$ es integral, es la primera clase de Chern de algunos holomorphic línea bundle $L$. De hecho, su hipótesis es que el $L$ es positivo, lo cual es equivalente a que $L$ es amplia, a través de la Kodaira incrustación.
$L$ es suficiente si $L^k$ induce un proyectivas de la incorporación para algunos un gran $k$. Si $k=1$$L$, $[\omega]$ está representado por el retroceso de Fubini-estudio de la métrica. En general, hay un montón de amplia línea de bulto que no son muy amplias, así que todos estos serán contraejemplos (que se puede encontrar aquí).
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