¿Cuáles son las conexiones entre funciones de cuadrado integrables en el contexto de series de Fourier y mínimos cuadrados de la regresión?

Question

$L^2([0,1])$ integrabilidad es una condición para expresar una función periódica como una serie de Fourier:

$$\left\vert \int_{0}^L f(x)- \int_{0}^L \sum_{k=-n}^n \hat f(k)\;\mathrm e^{\frac{2\pi}{L} kx} \right \vert^2\mathrm dx\to0$$

como $n\to \infty.$

La idea es que el infinito FS converge a la función como la media de la plaza de la convergencia.

No sé si alguno de los paralelos en el marco conceptual que se pueden establecer entre esta idea de la convergencia y de la estimación de una de regresión de mínimos cuadrados (OLS) hyperplane minimizar el cuadrado de las diferencias entre la predicción y los valores reales. Y si es así, ¿en qué sentido estos conceptos están conectados.

Podría el FS ser interpretada como una OLS aproximación a un overdeteemined problema?

Answer 1

Para un producto interior espacio de $X$, el de los mínimos cuadrados aproximación a $f\in X$ por un conjunto independiente de vectores $\{ x_1,x_2,\cdots,x_n \}$ es la combinación de $\sum_{n=1}^{n}\alpha_n x_n$ que minimiza $$ \left\|f \sum_{k=1}^{n}\alpha_k x_k\right\|^2. $$ Esto es equivalente a saber que $f-\sum_{k=1}^{n}\alpha_k x_k$ es ortogonal a todos los $x_k$$1\le k\le n$. En el caso de un ortonormales set $\{ e_k \}_{k=1}^{n}$, el de los mínimos cuadrados aproximación es $$ \sum_{k=1}^{n}\langle f,e_k\rangle e_k. $$ El exponenciales $\left\{ e_k(x)=e^{2\pi ikx/L}\right\}_{k=-n}^{n}$ forma un ortonormales conjunto en $L^2[0,1]$ y la correspondiente a los mínimos cuadrados aproximación a $f\in L^2[0,1]$ este conjunto es la serie de Fourier truncada

$$ \sum_{k=-n}^{n}\langle f,e_k\rangle e_k = \sum_{k=-n}^{n}\left(\int_{0}^{1}f(t)e^{-2\pi tic'}dt\right)e^{2\pi ikx}. $$

La aproximación de mínimos cuadrados es el más cercano al punto de proyección, que es la misma que la proyección ortogonal. Este es el principio que usted aprendió en el Cálculo de $\mathbb{R}^2$$\mathbb{R}^3$, y esto también se cumple en un infinito-dimensional espacio de Hilbert.