Cuál es el espacio de bucle libre $\mathcal{L}M$ de un colector $M$ para lo cual $E:LM\to\mathbb{R}$ para $E:\gamma\mapsto\int_{S^1}\|\dot\gamma(t)\|^2dt$ no tiene puntos críticos no degenerados? ¿Es simplemente el conjunto vacío (es esto posible)?
Gracias de antemano.
El funcional de energía en el gratis espacio de bucle $LM$ sólo tiene puntos críticos degenerados si $M$ no es de dimensión cero. Por supuesto, todos los bucles constantes son puntos críticos degenerados (el conjunto crítico es una copia de $M$ )
Esta es la razón por la que todas las geodésicas cerradas no constantes son degeneradas:
Hay una acción no trivial del círculo $S^1$ en el espacio de bucle libre que deja invariante el funcional de energía. Si $\gamma:S^1\rightarrow M$ es un bucle definimos un nuevo bucle $s\cdot \gamma:S^1\rightarrow M$ por $c\cdot \gamma(t)=\gamma(t+s)$ . Si $\gamma$ es un bucle no constante, entonces $c\cdot \gamma$ también es un bucle no constante (y diferente para la mayoría de los valores de $c$ !).
El funcional $E$ es invariante bajo esta acción. Así, para cualquier geodésica cerrada $\gamma$ para casi todos los $c$ el bucle $c\cdot \gamma$ es también una geodésica cerrada (esto es sólo una reparametrización). Esto demuestra que no puede haber puntos críticos aislados. Lo mejor que se puede esperar es que los puntos críticos vengan en $S^1$ familias. Creo que es cierto que esto es así para un conjunto genérico de métricas, aunque no puedo dar una referencia desde mi cabeza.
Se podría preguntar si existen variedades sin geodésicas cerradas no triviales. Existe un teorema de Lyusternik y Fet según el cual esto sólo puede ocurrir para los colectores no compactos (aquí tomo los colectores sin límites). El espacio euclidiano es un ejemplo sencillo de una variedad sin geodésicas cerradas.
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