Probando el supremum

Question

Estoy dado de estos dos conjuntos

$A\subset (0,+\infty ),$ inf $A=0$y $A$ no es superior limitada

$B=\left { \frac{x}{x+1}:x\in A \right }$

y tengo que encontrar el supremum.

Aquí está la solución que mi libro da a demostrar que $supB=1$:

Si $y\in B$ entonces hay un % de s.t. $x \in A$% #%

Elegimos $y=\frac{x}{x+1}0$ tal que $x\in A$ $\frac{x}{x+1} ...

la prueba continúa pero mi problema es este segmento, ¿cómo pasar de aquí $x>\frac{1}{ε}-1$ % aquí $\frac{x}{x+1}

Answer 1

Tenga en cuenta que % $ $$ \frac{x}{x+1} = \frac{x+1-1}{x+1} = 1- \frac{1}{x+1}, $ que $$ \frac{x}{x+1} \epsilon, $$ e invertir esto da (esto es permitido puesto que $x > 0,$ que $x+1 > 1 > 0)$ % $ $$ x+1