Biyección continua que no es un homeomorfismo.

Question

Dada la función $f:[0,2\pi)\to S^1$ , $\varphi\mapsto (\cos(\varphi), \sin(\varphi))^t$ . Demostrar que $f$ es continua y una biyección, pero no un homeomorfismo.

Que $f$ es continua está claro, ya que cada componente es continua. Además es continua diferenciable.

Cuando quiero mostrar, que $f$ es una biyección es fácil ver que $f$ es inyectiva, ya que para

$f(x)=f(y)\Leftrightarrow (\cos(x), \sin(x))=(\cos(y),\sin(y))\Leftrightarrow \cos(x)=\cos(y)\wedge\sin(x)=\sin(y)\stackrel{x,y\in [0,2\pi)}{\Leftrightarrow} x=y$

Pero cómo puedo mostrar, que $f$ ¿es una sobreproyección?

Para demostrar que $f$ no es un homeomorfismo, tengo que verificar, que $f^{-1}$ no es continua. ¿Puedo utilizar el teorema de la función inversa?

Lo entiendo:

$Df(\varphi)=\begin{pmatrix}-\sin(\varphi)&0\\0&\cos(\varphi)\end{pmatrix}$

Con el determinante $\operatorname{det}Df(\varphi)=-\sin(\varphi)\cos(\varphi)$

Dónde $Df(\varphi)$ no es invertible para $\varphi=0$ .

Gracias de antemano por los consejos y comentarios.

Answer 1

La función $f$ es suryente porque si $(x,y)\in S^1$ Hay un $\theta\in[0,2\pi)$ tal que $(x,y)=(\cos\theta,\sin\theta)$ ; sólo toma $\theta=\arccos x$ si $y\geqslant0$ y $\theta=2\pi-\arccos x$ de lo contrario.

Y $f^{-1}$ es discontinuo porque $\lim_{n\to\infty}\left(\cos\left(2\pi-\frac1n\right),\sin\left(2\pi-\frac1n\right)\right)=(1,0)=f(0)$ pero $\lim_{n\to\infty}f^{-1}\left(\cos\left(2\pi-\frac1n\right),\sin\left(2\pi-\frac1n\right)\right)$ no existe (en $[0,2\pi)$ ).

Answer 2

Para ver que la inversa no es continua, observe que existe una secuencia de puntos $(y_n)$ s.t $y_n\to (1,0)$ pero $f^{-1}(y_n)\to 2\pi\ne f^{-1}(1,0)=0.$ Consideremos la secuencia de puntos dada por $$ (\cos (2\pi-n^{-1}), \sin (2\pi-n^{-1}) ) $$ por ejemplo.