¿Hay algún dominio integral no orientable?

Question

Deje $R$ integrante de dominio. Deje $R_0=R-\{0\}$ $R^*$ ser el grupo de la unidad de $R$. Una orientación de $R$ (mi terminología) es un submonoid $N\subseteq R_0$ que se cruza cada uno de los socios de equivalencia de la clase en exactamente un punto. Es decir, si $x\sim y$ ($x=uy$algunos $u\in R^*$) donde$x,y\in N$$x=y$, y si $x\in R_0$ existe $y\in N$ tal que $x\sim y$.

Por ejemplo, $\Bbb Z^+$ es una orientación de $\Bbb Z$, y si $k$ es un campo, entonces el conjunto de monic polinomios es una orientación de $k[X]$.

Cada integrante de dominio tienen una orientación?

Para PIDs, la respuesta es sí: Para cada uno de los prime ideal $P$, elige un primer generador de $P=(p)$, y deje $N$ el conjunto de los productos de estos generadores. Desde $R$ es un UFD, no hay dos productos diferentes, puede ser asociado, y por otra parte si $x\in R_0$ $x$ es un producto de números primos, y para cada uno de los prime $q_i$ si $p_i$ es el elegido generador de $(q_i)$ $p_i\sim q_i$ $x$ está asociado a $\sum_ip_i$.

Hay no-orientable conmutativa anillos que no son una parte integral de los dominios. Por ejemplo, en $\Bbb Z/6\Bbb Z$, sólo hay dos unidades, por lo que cada cuadrado debe ser en $N$ (desde cualquiera de las $x\in N$ o $-x\in N$ implica $x^2\in N$), por lo que la única estructura posible es $\{1,3,4\}$; pero $3\cdot 4=0$ así que esto no es un submonoid.

Answer 1

Si $R$ no es integralmente cerrado hay problemas. Por ejemplo, si $R=\mathbb{Z}[2i]$$R^\times=\{\pm1\}$, e $N$ tendrá que contener un asociado de $2i$, y de ahí su plaza, que es $-4$, y de manera similar a un asociado de $2$, y, por tanto, su plaza, que es $+4$.

Si $R$ es integralmente cerrado en su campo de fracciones de $K$ $R^\times$ es la torsión de los subgrupos de $K^\times$, y el cociente $K^\times/R^\times$ es de torsiones. Si también es gratis, a continuación, la secuencia de lo mencioné en mi comentario anterior se divide, entonces, esta es una idea de dónde buscar un contraejemplo en general; sin embargo, mi impresión es que sólo estás interesado en un sí/no de la cosa y el primer contraejemplo de hacerlo.