Encontrar el valor mínimo de$\mu$ en% cúbico $x^3-\lambda x^2+\mu x-6=0$

Question

Si$\lambda,\mu$ es el número real tal que,$x^3-\lambda x^2+\mu x-6=0$ tiene sus raíces reales y es positivo, ¿entonces el valor mínimo de$\mu$ es?

Mis intentos:

Como tiene raíces reales y positivas, sus derivados también tienen verdaderas raíces positivas, es decir,$3x^2-2\lambda x+\mu=0$ que aplica$D\geq0\implies \lambda^2\geq3\mu>0$. No sé cómo usar ese$6$, puede como producto de raíces de un cubo, pero ¿dónde?

Cómo proceder, por favor ayuda.

Answer 1

Insinuación

Supongamos que las raíces son$a,b,c.$ y luego

$$x^3-\lambda x^2+\mu x-6=(x-a)(x-b)(x-c),$ $ desde donde

$$abc=6, ab+ac+bc=\mu.$$ Since $ a, b, c> 0 $ tenemos eso (desigualdad AM-GM)

ps

¿Es posible alcanzar el valor mínimo?