¿Cómo puedo mostrar $\lim_{x\to 0}\frac{e^{3x}-e^x}{x}=2$ sin derivados?

Question

Así que yo estaba mirando a través de un libro de Cálculo, en la primera sección del capítulo 2 acerca de los límites y me encontré con el siguiente problema:

$$ \lim_{x\to 0} \dfrac{e^{3x}-e^x}{x}=2 $$

Inmediatamente, tomé el límite de uso de L'Hôpital, pero esto es sólo el primer capítulo y que todavía tienen que cubrir los derivados. Otros que usando la Serie de Taylor (que se podría enseñar más adelante también), hay otra manera de responder a esta pregunta?

Yo había pensado en algo de factorización

$$\dfrac{e^{3x}-e^x}{x}=\dfrac{e^x(e^{2x}-1)}{x}=\dfrac{e^x(e^x-1)(e^x+1)}{x}$$

Lo que me hizo pensar que el problema podría recaer en mí mostrar que: $$ \lim_{x\to 0} \dfrac{e^x(e^x-1)}{x}=1 $$ y del mismo modo, $$ \lim_{x\to 0} \dfrac{(e^x-1)}{x}=1. $$

Sin embargo, incluso aquí, tiendo a pensar que la de la serie de Taylor para probar esto. Cualquier ayuda es muy apreciada.

Answer 1

Dado el límite estándar como $t \to 0$ $\frac{e^t-1}t \to 1$ tenemos que

$$\dfrac{e^{3x}-e^x}{x}=2e^x \frac{e^{2x}-1}{2x}\to2\cdot1\cdot1$$

Para probar el límite estándar recordar que

$$e=\lim{y\to \infty}\left(1+\frac1y\right)^y \implies 1=\log e=\lim{y\to \infty}y\log \left(1+\frac1y\right) \implies \lim_{x\to 0} \frac{\log(1+x)}{x} \to 1 $$

por lo tanto por $y=e^t-1 \to 0 \implies t=\log (1+y)$ tenemos

$$\frac{e^t-1}t=\frac{y}{\log (1+y)}\to 1$$

Answer 2

Su límite es equivalente al conocido límite $\lim{t\to 0}\frac{e^t-1}{t}=1$, pero la forma más sencilla para probar la identidad última depende de la definición de la función exponencial. Por ejemplo, si se trata de %#% $ #% no hay nada que probar. Si es $$ e^x = \sum{n\geq 0}\frac{x^n}{n!} $ tienes en un barrio de origen $e^x=\lim_{n\to +\infty}\left(1+\frac{x}{n}\right)^n$, por la desigualdad de Bernoulli o AM-GM.

Answer 3

La pregunta es tienes define $e^x$. Si es como una serie de energía, es un poco tonto evitar la serie de Taylor.

Si ha definido la exponencial como la función inversa de $\log x:=\int_1^x \frac1t dt$, entonces es fácil demostrar que es su derivado y es $1$ $0$

Si ha definido $e^x=\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac x n\right)^n$ necesita trabajar un poco más para mostrar es su propio derivado y es $1$ $0$, pero no es imposible.

Answer 4

MVT:

x 1) \ge 0.

$e^x -1 = {\displaystyle \int_{0}^{x}} e^t dt = e^{y}(x-0)$, donde

$y \in [0,x]$.

$\lim_{x \rightarrow 0} \dfrac{e^x-1}{x} =$

$\lim_{x \rightarrow 0} e^{y(x)} = e^{0}$,

desde la función exponencial

es continua y $\lim_{x \rightarrow 0} y(x)=0$.

2) $x \le 0$.

$1- e^x ={\displaystyle \int_{x}^{0}} e^{t} dt =$

$e^r (0-x)$, donde $r \in [x,0].$

$\dfrac{e^x-1}{x}= e^r.$

Proceder a tomar el límite $x \rightarrow 0$, como en el caso 1).

3) límite derecha = límite izquierdo,

por lo tanto, $\lim_{x \rightarrow 0} \dfrac{e^x-1}{x}=1$.

Answer 5

Si $e$ se define como $$e^x=\sum{i=0}^{\infty}\frac{x^i}{i!}$$ Then the rest is immidiate, since $% $ $\frac{e^x-1}{x}=\sum{i=0}^{\infty}\frac{x^i}{(i+1)!}=1+\frac{x}{2}+\dots$