Sketch

Question

En mi entrevista para unirse a una universidad para el estudio de la física, me hizo esbozar $y = x^2 e^{-x}$ en el momento en que yo no podía hacerlo. El entrevistador me dijo que tengo que tener la intuición matemática como este para el estudio de la física. Ahora, estoy estudiando física en la universidad comprar todavía no se puede visualizar la ecuación.

Yo sólo podía plasmarla mediante la diferenciación de la ecuación completa o por la sustitución de valores, pero no quiero hacer esto ya que no creo que esto es lo que el entrevistador quería de mí; en realidad no dar la intuición de la forma.

https://www.desmos.com/calculator/u0yt84tpub[lo que la ecuación se ve ljke][1] [Lo que las dos partes del producto se ve como individualmente][2] La parte negativa de $y$ es muy fácil de ver: tanto en $x^2$ $e^{-x}$ son positivas, y ambos aumentan al $x$ a ser más negativo de lo $y$ hace más grande a medida $x$ se hace más negativo.

La parte positiva que todavía no puede explicar. He probado muchos, pero yo no podía encontrar una manera intuitiva para explicar la forma. Yo en realidad no tengo a nadie a mi alrededor que me pueden preguntar lo pregunté aquí.

Answer 1

Cuando$x$ es positivo pero pequeño, la parte dominante es$x^2$ y la forma es más o menos eso.

Sin embargo, como$x$ es muy grande,$\exp(-x)$ tendrá una mayor influencia y reducirá toda la curva.

El polinomio tiene un mayor impacto cuando$x$ es pequeño y exponencial tendrá un mayor impacto.$x$ Es grande.

Answer 2

Vamos a tratar con la parte no negativa.

Diferenciar es lo que tienes que hacer. Tenemos$$\frac{dy}{dx}=2xe^{-x}-x^2e^{-x}=xe^{-x}(2-x)$$ and to find critical points, set it to zero to give $ x = 0,2$ as $ \ exp $ nunca es cero.

Ahora en$x=0$,$y=0$ y en$x=2$,$y=4/e^2$. Sin embargo, como$\exp$ crece más rápido que$x^2$, para$x$,$y$ tiende a cero.

Poniendo esto en conjunto, obtenemos este gráfico .

Answer 3

Como dices, la parte donde$x \leq 0$ es simple.

Para$x >0$, considere$$f(x)=x^2 e^{-x} \implies f'(x)=-e^{-x} (x-2) x\implies f''(x)=e^{-x} (x^2-4x+2)$$ So, the first derivative cancels at $ x = 0$ and $ x = 2 $ y la segunda prueba derivada muestra que el primero es un mínimo, mientras que el segundo es un máximo.

Además, cuando$x$ se vuelve grande, el valor de la función es más pequeño y más pequeño. Estoy seguro de que si lo usas, estarás listo para "ver" cuál es el boceto de la función.