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Question

Si $\alpha,\beta,\gamma,\delta$ son las raíces de la ecuación $x^4+4x^3-6x^2+7x-9$ $\prod(1+\alpha^2)$ sé encontrar

1. $\sum \alpha=-4$
2. $\sum \alpha\beta=-6$
3. $\sum \alpha\beta\gamma=-7$
4. $\alpha\beta\gamma\delta=-9$

Sé que la suma de productos y otras cosas sobre las raíces pero no estoy siendo reorganizarlos de manera que soy capaz de obtener la respuesta requerida

Answer 1

El polinomio es irreducible sobre $\mathbb{Q}$ puesto que es irreductible en $\mathbb{F}_2$, por lo tanto, es el polinomio mínimo de $\alpha$. El polinomio mínimo de $\alpha^2$ está dada por

$$ \left[\underbrace{\left(x^4-6x^2-9\right)^2}{\text{even part}}-\underbrace{\left(4x^3+7x\right)^2}{\text{odd part}}\right]{x\mapsto \sqrt{x}} = x^4-28x^3-38x^2+59x+81=g(x) %#% $#% Como alternativa, la LHS es el factor determinante de$$ \prod\text{cyc}(1+\alpha^2) = g(-1) =\color{red}{13}.M^2+I$ Dónde está la matriz del compañero del polinomio original.

Answer 2

Transformar las raíces de $\alpha$ $1+\alpha^2$,

$$y=1+\alpha^2$$

$$\alpha=\sqrt{y-1}$$

Como $\alpha$ satisface nuestro polinomio determinado, sustituir $\alpha$ en eso.

Obtenemos la nueva ecuación con raíces $1+\alpha^2,1+\beta^2,\ldots$

$$(x-1)^2+4(x-1)\sqrt{x-1}-6(x-1)+7\sqrt{x-1}-9=0$$

Reorganizar y cuadratura,

$$(x-1)^2(x-7)^2+81-18(x-1)(x-7)=(x-1)(4x+3)^2$$

$$(x^2+1-2x)(x^2+49-14x)+81-18(x^2+7-8x)=(x-1)(16x^2+9+24x)$$

$$x^4-32x^3+34x^2+45x+13=0$$

$$\text{Product of roots}=\frac{13}{1}=13$$

Answer 3

Otra forma es escribir como $\;\prod(1+\alpha^2) = \prod\big((1+i\alpha) \cdot (1-i\alpha)\big)=\prod(1+i\alpha) \cdot \prod(1-i\alpha)\,$.

Si $\,\alpha\,$ son las raíces de $\,P(x)\,$, entonces el polinomio $\,Q(z)\,$ con raíces $\,1+i \alpha\,$ es el resultado de la sustitución $\,1+ix = z$ $\iff x = i(1-z)\,$. Después de la rutina de los cálculos:

$$Q(z) = P\big(i(1-z)\big) = z^4 - 4(1 - i) z^3 + 12(1 - i) z^2 - (16 - 5 i) z - (2 - 3 i)$$

Se sigue de Vieta las relaciones que $\,\prod (1+i \alpha) = -(2-3i)\,$.

Por un argumento similar $\,\prod (1-i \alpha) = -(2+3i)\,$, así que al final,$\,\prod(1+\alpha^2)= |2-3i|^2=13\,$.

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[ EDITAR ] Para el problema en particular aquí, realmente no necesita para determinar el $\,Q(z)\,$, pero acaba de encontrar el producto de sus raíces, es decir, el término constante $\,Q(0)\,$, que es un sencillo cálculo: $\,Q(0)=P(i)=i^4+4i^3-6i^2+7i-9=1+6-9+(-4+7)i=-2+3i\,$.