Cómo evaluar $ \lim \limits_{n\to \infty} \sum \limits_ {k=1}^n \frac{k^n}{n^n}$?

Question

Me puede mostrar que el siguiente límite existe, pero Estoy teniendo problemas para encontrarlo. Es $$\lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^n \frac{k^n}{n^n}$$ Por favor alguien puede ayudarme?

Answer 1

Un asintótica de expansión puede ser obtenida de la siguiente manera. Más términos pueden ser incluidos por el uso de más términos en la expansión de $\exp$$\log$. $$ \begin{align} \sum_{k=0}^n\frac{k^n}{n^n} &=\sum_{k=0}^n\left(1-\frac{k}{n}\right)^n\\ &=\sum_{k=0}^n\exp\left(n\log\left(1-\frac{k}{n}\right)\right)\\ &=\sum_{k=0}^{\sqrt{n}}\exp\left(n\log\left(1-\frac{k}{n}\right)\right)+O\left(ne^{-\sqrt{n}}\right)\\ &=\sum_{k=0}^{\sqrt{n}}\exp\left(-k-\frac{1}{2n}k^2+O\left(\frac{k^3}{n^2}\right)\right)+O\left(ne^{-\sqrt{n}}\right)\\ &=\sum_{k=0}^{\sqrt{n}}e^{-k}\exp\left(-\frac{1}{2n}k^2+O\left(\frac{k^3}{n^2}\right)\right)+O\left(ne^{-\sqrt{n}}\right)\\ &=\sum_{k=0}^{\sqrt{n}}e^{-k}\left(1-\frac{1}{2n}k^2+O\left(\frac{k^ 4}{n^2}\right)\right)+O\left(ne^{-\sqrt{n}}\right)\\ &=\sum_{k=0}^{\sqrt{n}}e^{-k}-\frac{1}{2n}\sum_{k=0}^{\sqrt{n}}k^2e^{-k}+O\left(\frac{1}{n^2}\right)\\ &=\frac{e}{e-1}-\frac{1}{2n}\frac{e(e+1)}{(e-1)^3}+O\left(\frac{1}{n^2}\right) \end{align} $$ Varios pasos se utiliza $$ \sum_{k=n}^\infty e^{-k}k^m=O(e^{-n}n^m) $$ que decae más rápido que cualquier potencia de $n$.

Answer 2

Por último, he sufrido esta prueba. Considerar las funciones $$ f_n(x)=\left(1-\frac{\lfloor x\rfloor}{n}\right)^n\chi_{[0,n+1]}(x) $$ Tenga en cuenta que $$ \int\limits_{[0,+\infty)} f_n(x)d\mu(x)=\sum\limits_{k=0}^n\int\limits_{[k,k+1)}\left(1-\frac{\lfloor x\rfloor}{n}\right)^nd\mu(x)= \sum\limits_{k=0}^n\left(1-\frac{k}{n}\right)^n $$ $$ \lim\limits_{n\to\infty}f_n(x)=\lim\limits_{n\to\infty}\left(1-\frac{\lfloor x\rfloor}{n}\right)^n\cdot \lim\limits_{n\to\infty}\chi_{[0,n+1]}(x)=e^{\lfloor x\rfloor} $$ Uno puede comprobar que $\{f_n:n\in\mathbb{N}\}$ es un no-disminución de la secuencia de la no-negativo funciones, a continuación, utilizando la monotonía teorema de convergencia obtenemos $$ \lim\limits_{n\to\infty}\sum\limits_{k=0}^n\left(\frac{k}{n}\right)^n= \lim\limits_{n\to\infty}\sum\limits_{k=0}^n\left(1-\frac{k}{n}\right)^n= \lim\limits_{n\to\infty}\int\limits_{[0,+\infty)} f_n(x)d\mu(x)= $$ $$ \int\limits_{[0,+\infty)} \lim\limits_{n\to\infty}f_n(x)d\mu(x)= \int\limits_{[0,+\infty)} e^{\lfloor x\rfloor}d\mu(x)= \sum\limits_{k=0}^\infty e^{-k}=\frac{1}{1-e^{-1}} $$

Answer 3

Vamos a notar un par de cosas. Todos los términos son positivos, delimitada entre el$0$$1$, y hay un término que es exactamente $1$. ¿Qué acerca de la mayor plazo?

Así que nos preguntamos ¿que $\lim \limits_{n \to \infty} \left( \dfrac{n-1}{n} \right)^n$ es, y después de un poco de cálculo vemos que este límite es $1/e$. La 'siguiente', término que implica la $\lim \limits_{n \to \infty} \left( \dfrac{n-2}{n} \right)^n = e^{-2}$. Así que de forma heurística, es de esperar que el límite para ser

$$1 + e^{-1} + e^{-2} + \dots = \frac{1}{1-\frac{1}{e}}$$

Trabajando sólo un poco más difícil, se puede justificar que este es el límite.

Answer 4

$\sum_{k=1}^n(k/n)^n=\sum_{0<k\le n}(1-k/n)^n$, y deje $a_k(n)=(1-k/n)^n$. Para $0<k\le n^{1/3}$, tenemos $$\ln a_k(n)=n\ln\left(1-\frac kn\right)=-n\left(\frac kn+O\left(\frac kn\right)\right)=-k+O\left(\frac{k^2}n\right)$$ así $$a_k(n)=e^{-k}\left(1+O\left(\frac{k^2}n\right)\right)$$ Vamos $b_k(n)=e^{-k}$, $c_k(n)=k^2e^{-k}/n$, tenemos $a_k(n)=b_k(n)+O(c_k(n))$$0<k\le n^{1/3}$. Por lo tanto, hemos $$\sum_{0<k\le n}a_k(n)=\sum_{k>0}b_k(n)+O(\Sigma_a(n))+O(\Sigma_b(n))+O(\Sigma_c(n))$$ donde $$\sum_{k>0}b_k(n)=\sum_{k>0}e^{-k}=\frac e{e-1}$$ y \begin{align*} \Sigma_b(n)&=\sum_{k>n^{1/3}}e^{-k}=O(e^{n^{1/3}})\\ \Sigma_a(n)&=\sum_{n^{1/3}<k\le n}\left(1-\frac kn\right)^n\le\sum_{n^{1/3}<k\le n}e^{-k}=O(e^{n^{1/3}})\\ \Sigma_c(n)&=\sum_{0<k\le n^{1/3}}e^{-k}k^2/n\le\sum_{k>0}e^{-k}k^2/n=O\left(\frac 1n\right) \end{align*} Por lo tanto, tenemos $\sum_{0<k\le n}(1-k/n)^n=e/(e-1)+O(1/n)$.

¿Alguien puede dar una información más exacta aproximación? La clave para la aproximación es encontrar la asymptotics para $\sum_{k>0}\exp(-k-k^2/2n)$, como la Campana de la suma de $\sum_{k>0}e^{-k^2/n}$.

Editar anon señaló que es theta función: $\sum_ke^{-(k+t)^2/n}$, por lo que la serie de Fourier funciona bastante bien para la asymptotics: $$\Theta_n(t)=\sqrt{\pi n}\left(1+2e^{-\pi^2 n}(\cos2\pi t)+2e^{-4\pi^2 n}(\cos4\pi t)+2e^{-9\pi^2 n}(\cos6\pi t)+\cdots\right)$$ Pero no tengo idea acerca de la serie de Fourier, porque sé muy poco acerca de cálculo!