triángulos isósceles de ángulo recto definidos en un tablero infinito Ir por piedras del mismo color

Question

Usted comienza con un infinito Ir de la junta. En cada punto de la junta de colocar una piedra de color. Hay n>1 diferentes colores. Encontrar todos los números naturales n que no importa cómo las piedras de colores, tres piedras del mismo color forman los vértices de un isósceles de ángulo recto del triángulo. El catheti (patas) de la isósceles triángulos rectángulos me debe estar en las líneas de la junta.

Esta pregunta ya está contestada para triángulos rectángulos.

Answer 1

Voy a bosquejar un elemental argumento para $n=2,3$ y permite extender para el caso general.
En las siguientes líneas, para mayor brevedad, triángulo , que representa un conjunto de la $\{(a,b),(a,b+c),(a+c,b+c)\}$ tipo $a,b\in\mathbb{Z}$$c\in\mathbb{N}^+$.

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$n=2$. Vamos a considerar los puntos de $(x,x)$ junto con sus colores: el Van Der Waerden teorema podemos deducir que $$ (0,0),(d,d),(2d,2d)$$ todos tienen el mismo color, es decir, tenemos un monocromático $3$-AP), dice blanco. Si uno de los puntos de $$(0,d),(d,2d)$$ es de color blanco que se hacen, por lo tanto podemos asumir que ellos son de color negro. En tal caso, el punto de $(0,2d)$ completa un monocromática triángulo no importa qué.

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$n=3$. Vamos a considerar los puntos de $(x;x)$ junto con sus colores: el Van Der Waerden teorema podemos deducir que $$ (0,0),(d,d),(2d,2d),\ldots,(Nd,Nd)$$ todos tienen el mismo color, es decir, tenemos un monocromático $(N+1)$-AP), dice rojas. Si uno de los puntos de $$(0,d),(d,2d),\ldots((N-1)d,Nd)$$ es de color rojo que se hacen, por lo tanto podemos asumir que todos son de color verde o azul. Si $N$ es lo suficientemente grande como tenemos un monocromático $3$-AP entre los puntos anteriores, a las que se supone que ser $$(kd,(k+1)d),((k+1)d,(k+2)d),((k+2)d,(k+3)d)$$ hecha por los puntos verdes. Si uno de los puntos de $$ (kd,(k+2)d),((k+1)d,(k+3)d)$$ es de color rojo o verde que se hacen, por lo tanto podemos asumir que ambos son de color azul. Pero en tal caso, tenemos un monocromático triángulo con un vértice en $(kd,(k+3)d)$.

Anexo: esto puede ser fácilmente convertido en una prueba de la Hales-Jewett teorema para monocromática plazas en $\mathbb{Z}^2$. El argumento anterior muestra que en cualquier $M\times M$ plaza (de forma explícita, enorme $M$) hay un monocromatic $|\overline{\phantom{a\,}}$, que se puede colocar en $\leq M^4$ maneras en las $M\times M$ plaza. De ello se sigue que por la diagonal de apilamiento $\leq M^4+1$ plazas $M\times M$ lo que sin duda encontrar dos monocromática $|\overline{\phantom{a\,}}$ con la misma posición relativa. Por diagonalmente apilamiento más $M\times M$ plazas, lo cierto es que encontrar dos monocromática $|\overline{\phantom{a\,}}$ con la misma posición relativa y el mismo color. Por diagonalmente apilamiento más $M\times M$ plazas, seguramente encontrar una $k$-AP de monocromático $|\overline{\phantom{a\,}}$ con la misma posición relativa. Hemos acabado por considerar el color de la falta de la plaza de vértice en cualquier $|\overline{\phantom{a\,}}$ y mediante la aplicación de la inducción en $n$.