¿Solución de forma cerrada para esta integral?

Question

Me encuentro con un bloqueo en la búsqueda de una expresión (preferiblemente de forma cerrada) para la siguiente integral:

\begin{equation} \int^{+\infty}_0 x^b \left ( 1-\frac{x}{u} \right )^c \exp(-a x^3) dx \end{equation}

donde $a,b$ son constantes positivas; $b>1$ es un múltiplo impar de $0.5$ , mientras que $c$ es un múltiplo impar positivo o negativo de $0.5$ ; $u$ es un parámetro (positivo).

Cosas que he considerado o probado:

• buscar en las tablas (Gradshsteyn y Ryzhik): hay muy pocos resultados explícitos para las integrales que implican $\exp(-a x^3)$ (o para los otros factores después de la transformación mediante $y=x^3$ ). Además, los resultados tabulados que implican $\exp(-a x^p)$ para más generalidades $p$ no incluyen los otros factores $x^b (1-x/u)^c$ . Una excepción es (3.478.3): \begin{equation} \int^{u}_0 x^b (u-x)^c \exp(-a x^3) dx, \end{equation} pero los límites de la integración no coinciden con mi caso;

• existe una solución de forma cerrada (3.478.1) para la integral más simple \begin{equation} \int^{+\infty}_0 x^{d-1} \exp(-a x^3) dx = \frac{a^{-d/3}}{3} \Gamma(d/3). \end{equation} (Nota: también hay una expresión para la integral indefinida). Una expansión binomial de $[1-(x/u)]^n$ para los enteros $n$ produciría una solución en forma de serie. Sin embargo, en mi caso, los exponentes $b$ y $c$ son estrictamente medio enteros. Por la misma razón, la integración por partes no conduce a una integral más simple sin el factor $[1-(x/u)]^c$ ;

• Wolfram Math online no produjo ningún resultado;

• la integral es un paso intermedio en un análisis más largo, por lo que la solución numérica (con valores dados para el parámetro) no es práctica.

Agradezco cualquier indicación o solución.

Answer 1

Comentario largo:

Dado que se pidió explícitamente, Mathematica 11.3 cuando se proporciona con

$$\text{Integrate}\left[e^{-a x^3} x^b \left(1-\frac{x}{u}\right)^c,\{x,0,\infty \},\text{Assumptions}\to b>1\land a>0\land u>0\right]$$

renuncia al monstruo

$$\text{ConditionalExpression}\left[\frac{1}{6} \left(2 a^{\frac{1}{3} (-b-c)} \left(\frac{\left(-\frac{1}{u}\right)^c \Gamma \left(\frac{1}{3} (b+c+1)\right) \, _3F_3\left(\frac{1}{3}-\frac{c}{3},\frac{2}{3}-\frac{c}{3},-\frac{c}{3};\frac{1}{3},\frac{2}{3},-\frac{b}{3}-\frac{c}{3}+\frac{2}{3};-a u^3\right)}{\sqrt[3]{a}}-c u \left(-\frac{1}{u}\right)^c \Gamma \left(\frac{b+c}{3}\right) \, _3F_3\left(\frac{1}{3}-\frac{c}{3},\frac{2}{3}-\frac{c}{3},1-\frac{c}{3};\frac{2}{3},\frac{4}{3},-\frac{b}{3}-\frac{c}{3}+1;-a u^3\right)+\frac{\pi \sqrt[3]{a} (-1)^c 3^{\frac{3}{2}-c} u^{2-c} \Gamma (c+1) \Gamma \left(\frac{1}{3} (b+c-1)\right) \, _3F_3\left(\frac{2}{3}-\frac{c}{3},1-\frac{c}{3},\frac{4}{3}-\frac{c}{3};\frac{4}{3},\frac{5}{3},-\frac{b}{3}-\frac{c}{3}+\frac{4}{3};-a u^3\right)}{\Gamma \left(\frac{c-1}{3}\right) \Gamma \left(\frac{c}{3}\right) \Gamma \left(\frac{c+1}{3}\right)}\right)+\frac{3^{-b-c-\frac{1}{2}} u^{b+1} \Gamma (c+1) \left(\frac{4 \pi ^2 \Gamma (b+1)}{\Gamma \left(\frac{1}{3} (b+c+2)\right) \Gamma \left(\frac{1}{3} (b+c+3)\right) \Gamma \left(\frac{1}{3} (b+c+4)\right)}+\frac{(-1)^c \Gamma \left(-\frac{b}{3}-\frac{c}{3}\right) \Gamma \left(\frac{1}{3} (-b-c-1)\right) \Gamma \left(\frac{1}{3} (-b-c+1)\right)}{\Gamma (-b)}\right) \, _3F_3\left(\frac{b}{3}+\frac{1}{3},\frac{b}{3}+\frac{2}{3},\frac{b}{3}+1;\frac{b}{3}+\frac{c}{3}+\frac{2}{3},\frac{b}{3}+\frac{c}{3}+1,\frac{b}{3}+\frac{c}{3}+\frac{4}{3};-a u^3\right)}{\pi }\right),\Re(c)>-1\right] $$ ,

incluyendo la condición de que el único valor negativo medio entero $c$ puede tomar es $-\frac{1}{2}$ dadas las suposiciones anteriores.

Otras reflexiones...

Al diferenciar $e^{-a x^3} x^b \left(1-\frac{x}{u}\right)^c$ en relación con $x$ y luego integrando entre $0$ y $\infty$ obtenemos la identidad integral

$$\frac{c}{u} \int_0^\infty e^{-a x^3} x^b \left(1-\frac{x}{u}\right)^{c-1} \, dx =b \int_0^\infty e^{-a x^3} x^{b-1} \left(1-\frac{x}{u}\right)^c \, dx-3 a \int_0^\infty e^{-a x^3} x^{b+2} \left(1-\frac{x}{u}\right)^c \, dx$$

desde $\left[e^{-a x^3} x^b \left(1-\frac{x}{u}\right)^c \right]_0^\infty=0$

Mathematica vuelve a dar la condición de que $c>-1$ con los siguientes supuestos

$$\text{Integrate}\left[e^{-a x^3} x^{b} \left(1-\frac{x}{u}\right)^c,\{x,0,\infty \},\text{Assumptions}\to b>0\land a>0\land u>0\right]$$ .

lo que implica $c$ debe ser positivo para que su integral exista.

Answer 2

Una integral de un producto de dos funciones G de Meijer de potencias racionales del argumento da una función G: $$\int_0^\infty x^b \left( 1 - \frac x u \right)^c e^{-a x^3} dx = \\ \int_0^u x^b \left( 1 - \frac x u \right)^c e^{-a x^3} dx + (-1)^c \int_u^\infty x^b \left( \frac x u - 1 \right)^c e^{-a x^3} dx = \\ \Gamma(c + 1) \int_0^\infty x^b G_{1, 1}^{1, 0} \left( \frac x u \middle| {c + 1 \atop 0} \right) G_{0, 1}^{1, 0} \left( a x^3 \middle| {- \atop 0} \right) dx + \\ (-1)^c \Gamma(c + 1) \int_0^\infty x^b G_{1, 1}^{0, 1} \left( \frac x u \middle| {c + 1 \atop 0} \right) G_{0, 1}^{1, 0} \left( a x^3 \middle| {- \atop 0} \right) dx = \\ 3^{-c - 1} \Gamma(c + 1) u^{b + 1} G_{3, 4}^{1, 3} \left(a u^3 \middle| { \frac {-b} 3, \frac {-b + 1} 3, \frac {-b + 2} 3 \atop 0, \frac {-b - c - 1} 3, \frac {-b - c} 3, \frac {-b - c + 1} 3} \right) + \\ 3^{-c - 1} (-1)^c \Gamma(c + 1) u^{b + 1} G_{3, 4}^{4, 0} \left(a u^3 \middle| { \frac {-b} 3, \frac {-b + 1} 3, \frac {-b + 2} 3 \atop 0, \frac {-b - c - 1} 3, \frac {-b - c} 3, \frac {-b - c + 1} 3} \right).$$ Cuando $b$ y $c$ son medios enteros, uno de los tres números $(-b - c - 1)/3, (-b - c)/3, (-b - c + 1)/3$ es un número entero. Por lo tanto, la relación de las funciones gamma en el $G_{3, 4}^{4, 0}$ siempre tiene una secuencia infinita de dobles polos dentro del contorno de integración, y la función G no puede convertirse en una suma de funciones hipergeométricas. La suma sólo será válida como límite, lo que dará derivadas de ${_pF_q}$ wrt parámetros.