Un heurístico para la consistencia de ZFC (teoría de la estructura fina)

Question

El siguiente extracto es de Frank Drake, el más Grande de los Cardenales libro, en el capítulo sobre Constructibility. Él le da una (no ZFC) prueba del siguiente teorema:

Theroem: Hay $\kappa^+$modelos de ZF de la forma $L_\alpha$ $\alpha$ $\kappa$ $\kappa^+$

el que se utiliza para la prueba de los resultados sobre el famoso "huecos" en la Edificable jerarquía. Voy a dar la prueba a continuación. Lo notable de esta prueba es que la realidad no ZFC parte de ella es muy "intuitivamente verdadero', y por lo tanto la prueba parece ser un fuerte heurística para creer en la consistencia de ZFC. He aquí la prueba:

Prueba: el Uso de la definibles por el bien de pedidos $<_L$$L$, definir una función de Skolem en $L$ para cada fórmula $\phi(x_0,...,x_n)$ dejando $f_\phi(x_0,...,x_n)$ $<_L$- menos de elemento de satisfacciones $\phi$ o $\emptyset$ lo contrario. Para cada$\phi$, $f_\phi$ es definible Skolem de la función en $L$.

La colección F de todas esas funciones de Skolem no es definible en ZFC como si lo fuera, implicaría una definición de la verdad para $L$ (y, por tanto, $V$ si $V=L$), y también los modelos de ZFC. Pero vamos a hacer (no ZFC) suposición de que el contable de la colección de F existe.

Tomar cualquier $L_\beta$$\kappa\le\beta\le\kappa^+$. Forma el cierre de la $X$ $L_\beta$ bajo F; tendremos $|X|=\kappa$ también $(X,E(X))\prec L$. Por lo tanto $(X,E(X))$ está bien establecido y es un modelo de extensionality, hacer Mostowski del teorema implica que tenemos un único colapso de isomorfismo $f:X\to Y$ para algunos transitiva $Y$.Desde $X\models ZFL$, también se $Y\models ZFL$; y así, 1.12 (una anterior teorema de donde demuestra que cualquier modelo de ZFL es de la forma $L_\alpha$ para algunos $\alpha$) $Y=L_\alpha$ para algunos $\alpha$. (El resto de la prueba, simplemente muestra que no se $\kappa^+$ estos modelos, y no está directamente relacionado a mi pregunta).

Pregunta: ¿me Estoy perdiendo algo aquí? Parece que el muy intuitiva en la suposición de que el no definible de la colección de F existe, nos da una clara razón para creer en la consistencia de ZFC. Sin embargo, he leído muchos artículos expositivos en ZFC y nunca han visto este argumento usado antes. Siento que debe haber algún argumento circular en aquí en algún lugar.

Answer 1

Si lo entiendo correctamente, usted está argumentando de la siguiente manera:

• Es muy razonable suponer que una colección F de funciones de Skolem para $L$ existe.

• De esta F, podemos producir muchos de los modelos de ZFC (de hecho, transitiva conjunto de modelos).

• Por lo tanto, es muy razonable suponer que ZFC es consistente (de hecho, más que la existencia de un modelo transitivo es estrictamente una fuerte$^*$ hipótesis, la consistencia de la fuerza sabio, que la existencia de un modelo).

Sin embargo, tenga en cuenta que al principio empezamos con $L$. Así que ya estamos asumiendo desde el principio, al menos en la cara de las cosas, que la edificable universo existe. Al horno a la derecha en la que es ya la hipótesis de que ZFC es consistente. Así que a lo mejor, yo creo que lo que realmente está sucediendo es una plausibilidad argumento de que ZFC tiene transitiva modelos, a partir de la suposición de que $L$ "existe".

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Prueba: en Primer lugar, permítanme dar una mancha de argumento que se basa en una fuerte consistencia principio, lo es en un sentido la trampa. Deje $\alpha$ ser el menos ordinal tal que $L_\alpha\models$ ZFC. Desde que ZFC es verdaderamente consistente y $L_\alpha$ "true $\omega$ (siendo transitivo), tenemos $L_\alpha\models$ Con(ZFC). Sin embargo, $L_\alpha$ no puede tener cualquier modelo transitivo de ZFC: un modelo de este tipo tendría la altura de la $<\alpha$, y desde su $L$ satisfacer ZFC esto contradice la suposición sobre la $\alpha$.

Ahora aquí hay una suposición gratuita de prueba. Supongamos que hay un modelo transitivo $M$ de ZFC. Entonces ZFC es verdaderamente consistente, por lo $M$ - que tiene estándar $\omega$, por transitividad - cumple Con(ZFC). Esto significa a su vez que ZFC+Con(ZFC) es realmente consistente.

Hemos demostrado que "no existe un modelo transitivo de ZFC" implica "no existe un modelo transitivo de ZFC+Con(ZFC)." Dado que la existencia de un modelo de ZFC+Con(ZFC) - transitivo o no - es de los más fuertes de la consistencia de la fuerza de la existencia de un modelo de ZFC solos, hemos terminado.

Tenga en cuenta que el mismo "true $\omega$ bootstrapping" truco que hemos utilizado se puede afirmar: por lo que "no es un modelo transitivo de ZFC" es de bastante más consistencia fuerza que Con(ZFC+Con(ZFC)), o Con(ZFC+Con(ZFC)+Con(ZFC+Con(ZFC))), o ... incluso podemos repetir este transfinitely, al menos por un tiempo. La existencia de un modelo transitivo es increíblemente fuerte, relativa a la habitual de las propiedades de consistencia; de forma más general, la solidez es más fuerte que la consistencia.