Demostrar que $\frac{\sin x}{x}=(\cos\frac{x}{2}) (\cos\frac{x}{4}) (\cos \frac{x}{8})...$

Question

¿Cómo puedo demostrar esta identidad?

$$\frac{\sin x}{x}=\left(\cos\frac{x}{2}\right) \left(\cos\frac{x}{4}\right) \left(\cos \frac{x}{8}\right)...$$

Mi idea es dejar que $$y=\frac{\sin x}{x}$$ y $$xy=\sin x$$

A continuación, utilice la identidad de ángulo doble $\sin 2x=2\sin x \cos x$ y sus homólogos de medio ángulo repetidamente. Veo algún tipo de patrón, pero parece que no puedo distinguir el patrón y completar la prueba.

Answer 1

Tenga en cuenta el hecho de que $$ \cos \frac{x}{2^k} = \frac12 \cdot \frac{\sin (2^{1-k} x)}{\sin(2^{-k}x)}, $$ y tenemos $$ \prod_{k = 1}^n \cos \frac{x}{2^k} = \frac{1}{2^n} \cdot \frac{\sin x}{\sin(2^{-n}x)} = \frac{2^{-n}x}{\sin(2^{-n}x)} \cdot \frac{\sin x}{x}. $$ Para todos $x$ , como $n \to \infty$ tenemos $$ \lim_{n \to \infty} \prod_{k = 1}^n \cos \frac{x}{2^k}= \frac{\sin x}{x} \cdot\lim_{n \to \infty} \frac{2^{-n}x}{\sin(2^{-n}x)} = \frac{\sin x}{x}. $$

Answer 2

Respuesta parcial:

La serie Taylor de $\sin x$ es $x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} \cdots$ Así que..:

$$\frac{\sin x}{x} = 1 - \frac{x^2}{3!}+\frac{x^4}{5!} \cdots.$$

Mientras tanto, $\cos x = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!}$ y por lo tanto:

$$\cos(\frac{x}{2^1}) = 1 - \frac{x^2}{2^2 \cdot 2!} + \frac{x^4}{2^4 \cdot 4!} - \frac{x^6}{2^6 \cdot 6!} \cdots$$

$$\cos(\frac{x}{2^2}) = 1 - \frac{x^2}{2^4 \cdot 2!} + \frac{x^4}{2^8 \cdot 4!} - \frac{x^6}{2^{12} \cdot 6!} \cdots$$

$$\cos(\frac{x}{2^3}) = 1 - \frac{x^2}{2^6 \cdot 2!} + \frac{x^4}{2^{12}\cdot 4!} - \frac{x^6}{2^{18} \cdot 6!} \cdots$$

y así sucesivamente.

El término constante del producto infinito es $1$ .

Sólo hay una manera de hacer un $x^2$ término: multiplicando la constante y el $x^2$ término. El coeficiente del $x^2$ término es:

$$-\frac{1}{2^2 \cdot 2!} - \frac{1}{2^4 \cdot 2!} - \frac{1}{2^6 \cdot 2!},$$

que es una serie geométrica con $a = \frac{1}{8}$ y $r = \frac{1}{4}$ que la fórmula da como $\frac{\frac{1}{8}}{1- \frac{1}{4}} = \frac{1}{6}$ .