Intuitivamente, ¿por qué los intentos de retrasar al golpear una singularidad de agujero negro te hacen llegar más rápido?

Question

En relatividad general, el tiempo apropiado, se maximiza a lo largo de geodesics. En el interior de un agujero negro, todos orientados hacia el futuro timelike trayectorias final en la singularidad. Poniendo estos dos hechos juntos, nos encontramos con que cualquier desviación de la línea geodésica caída libre disminuye el tiempo apropiado antes de que uno llega a la singularidad, así como Carroll dice, "usted puede sentarse y disfrutar del paseo."

[Edit: Como Dale señala, la Schwarzchild singularidad, no consiste en un único espacio-tiempo del evento, por lo que este argumento falla en general: uno, de hecho, puede extender el buen momento que experimenta un libre faller entre el horizonte de sucesos y la singularidad en cierta medida por el disparo de cohetes hacia el interior. Pero esto no puede ocurrir de forma apreciable en el caso límite en el que la libre caída comienza en reposo justo fuera del horizonte, que voy a asumir ser el caso.]

Esto es por supuesto muy en contra nonrelativistic intuición. En la gravitación Newtoniana, si el fuego de su jetback hacia adentro, usted reduzca la velocidad de su caída hacia el interior y comprar más tiempo. Hay alguna intuición física de por qué este no es el caso en el interior de un agujero negro (si usted comienza a la caída libre desde el reposo en el horizonte)?

Una posible explicación es que los gases de escape de tu jetpack empuja en que por la gravedad y por lo tanto hace que se caiga más rápido. El más difícil de fuego de sus motores, el más escape de retroceso, que atrae a más y más acelera su caída. Pero no creo que esta explicación es bastante correcto debido a que (a) usted está disparando en el escape radialmente hacia adentro y así en "su futuro", por lo que no es obvio que se puede causalmente influencia, y (b) el resultado que se explicó se produce puramente dentro de los fijos de Schwarzchild métrica, sin necesidad de incorporar ningún gravitacional de nuevo la reacción de las perturbaciones de los gases de escape.

Answer 1

En realidad, resulta ser incorrecta de que la estrategia óptima es de caída libre. No es una estrategia óptima para despedir a su motor de cohete que maximiza su tiempo apropiado, desde el horizonte de sucesos a la singularidad, y se extiende más allá de la propia tiempo de un observador en caída libre.

Aquí es un documento que describe el problema y describe estrategias para maximizar el tiempo apropiado a la singularidad:

https://arxiv.org/abs/0705.1029v2

Edit: un TL;DR resumen de la ponencia. Un desploma cohete puede maximizar el tiempo apropiado a la singularidad haciendo primero una quemadura para que coincida con la trayectoria de un objeto en caída libre que comenzó en reposo en el horizonte. Una vez que el cohete ha coincidido que la trayectoria específica, entonces se debe de apagar los motores.

Answer 2

Mi (muy limitada) la intuición de esto es que una vez que se cruza el horizonte de sucesos, la singularidad no es tanto un punto distante en el espacio, ya que es un momento en el tiempo futuro.

En otras palabras, dentro del horizonte de evento que usted está disparando sus cohetes no para evitar algunos de punto de $(x,y,z)$, sino más bien para evitar que el próximo jueves. A partir de aquí, puedo utilizar mi intuición acerca de la dilatación del tiempo y el hecho de que geodesics son las trayectorias de máximo momento adecuado.

Yo soy de ninguna manera un GR experto así que si esta foto está mal, correcciones son más que bienvenidos :)

Answer 3

He aquí una respuesta parcial, a pesar de que todavía es bastante formal. Definir primero $$E := -\left( \frac{2GM}{r} - 1 \right) \frac{dt}{d\tau}, \qquad L := r^2 \frac{d\phi}{d\tau}$$ habitual en las coordenadas de Schwarzschild. Si usted está en caída libre, a continuación, $E$ $L$ son constantes a lo largo de su trayectoria, pero si usted puede disparar sus motores, se pueden cambiar. Podemos ampliar la normalización de la condición de $U \cdot U = -1$ a $$\frac{1}{2} \left( \frac{dr}{d\tau} \right)^2 - \left(\frac{2GM}{r} - 1 \right) \left(1 + \frac{L^2}{r^2} \right) = \frac{1}{2} E^2,$$ que parece algo así como la declaración de conservación de la energía (por unidad de masa) de un nonrelativistic partícula con momento angular $L$.

Pero hay dos extraños aspectos de esta ecuación:

1. Al expandir el producto de dos binomios de la LHS, consigue un extraño plazo $-2GM L^2/r^3$ que no aparece en la nonrelativistic caso. A diferencia de la habitual centrífuga angular momentum de la barrera, este es un centrípeta momento angular ficticia de la "fuerza" que succiona la partícula hacia adentro en pequeños radios. Esto significa que el momento angular es realmente su enemigo, y no a su amigo, para evitar la singularidad - de modo que usted no desea acelerar de una manera que aumenta su magnitud.

2. El efectivo de la energía total $\mathcal{E}$ no es la física de la energía mecánica $E$, pero en lugar de $\frac{1}{2} E^2$. En el estándar nonrelativistic caso, disparando sus motores para frenar su infall disminuye su energía mecánica total y ayuda a que se demora en llegar cerca del centro. (Esto puede parecer contrario a la intuición en primer lugar, porque asociamos altamente energías negativas con atados de las órbitas y energías positivas con independiente de las órbitas, por lo que usted podría pensar que usted desea aumentar su energía. Pero para el propósito de retrasar llegar cerca del centro, en realidad se desea frenar y hacer que su energía más negativa, a expensas de la captura usted mismo más profundo en el pozo de gravedad global y pasar más tiempo cerca del centro una vez que finalmente llega.) Pero en el caso de Schwarzschild, $\mathcal{E} = \frac{1}{2} E^2$ significa que a partir de la energía depende de la no-monótona en su energía física: si su energía física $E$ es negativo, lo que es aún más negativo en realidad aumenta su eficiente de la energía $\mathcal{E}$. Esto significa que la minimización de sus eficiente de la energía requiere mantener su energía física en $E = 0$, que de hecho corresponde a la optimización de la geodésica que comienza en el resto infinitesimalmente fuera del horizonte. Cualquier intento de freno se sobreimpulso $E = 0$ y enviar $E$ negativo, que va a aumentar su eficiente de la energía y el daño.

Answer 4

En una métrica, tales como

$$ d\tau^2=g_{11}dt^2-g_{22}dr^2 $$

el intervalo más largo $d\tau$ entre los dos eventos que, obviamente, es al $dr=0$ simplemente debido a la señal. Este es el marco del resto con ningún movimiento en el espacio y, en consecuencia, no hay dilatación del tiempo debido al movimiento. Cualquier $dr\ne 0$ resultaría en un movimiento con un fuerte dilatación del tiempo y, por tanto, disminuir el intervalo o el momento adecuado.

La radial geometrized métrica de Schwarzschild en el interior del horizonte de sucesos es

$$ d\tau^2 = \left(\frac{r_s}{r}-1\right)^{-1} \,dr^2 - \left(\frac{r_s}{r}-1 \right)\,dt^2\tag{1} $$

Donde $r$ es la coordenada de tiempo y $t$ es un espacio de coordenadas ortogonal a tiempo y, por tanto, no hacia el centro. Como se mencionó anteriormente, el más largo en el tiempo apropiado, es al $dt=0 $ y por lo tanto

$$ d\tau^2 = \left(\frac{r_s}{r}-1\right)^{-1} \,dr^2 $$

O

$$ d\tau =\dfrac{dr}{\sqrt{\dfrac{r_s}{r}-1}} $$

La resolución de

$$ \tau=-r\sqrt{\dfrac{r_s}{r}-1}-r_s\arctan\left(\sqrt{\dfrac{r_s}{r}-1}\right)+C $$

De $\,r=r_s\,$ $\,r=0\,$larga vida en el interior del agujero negro es

$$ \tau=\dfrac{\pi}{2}r_s=\pi M $$

Más rigurosamente, la envolvente de solución de las ecuaciones geodésicas para la radial métrica $(1)$ los rendimientos de los siguientes geodesics (donde $R$ es la radio, de la que el otoño comienza en reposo)

$$ \tau=\dfrac{R}{2}\sqrt{\dfrac{R}{2M}}\left(\arccos\left(\dfrac{2r}{R}-1\right)+\sin\left(\arccos\left(\dfrac{2r}{R}-1\right)\right)\right) $$

Y

$$ t=\sqrt{\dfrac{R}{2M}-1}\cdot\left(\left(\dfrac{R}{2}+2M\right)\cdot\arccos\left(\dfrac{2r}{R}-1\right)+\dfrac{R}{2}\sin\left(\arccos\left(\dfrac{2r}{R}-1\right)\right)\right)+ $$

$$ +\, 2M\ln\left(\left|\dfrac{\sqrt{\dfrac{R}{2M}-1}+\tan\left(\dfrac{1}{2}\arccos\left(\dfrac{2r}{R}-1\right)\right)}{\sqrt{\dfrac{R}{2M}-1}-\tan\left(\dfrac{1}{2}\arccos\left(\dfrac{2r}{R}-1\right)\right)}\right|\right) $$

Trazado de estas funciones para el otoño desde el horizonte de $r=2M$ confirma la ausencia de movimiento espacial $t=0$ (línea azul), así como el máximo de tiempo adecuado $\tau=\pi M$ (línea verde). Por favor, tenga en cuenta que el tiempo de $r$ en el gráfico se mueve de derecha a izquierda.

En comparación, la siguiente gráfica representa una caída de$r=5M$, lo que muestra el tiempo de $t$ sobre el horizonte divergente a infinito y mostrando un rápido movimiento espacial a lo largo de $t$ dentro del horizonte causando una mayor dilatación del tiempo que se traduce en una (aproximadamente el doble) menor valor de la hora adecuada $\tau$ entre el horizonte a $r=2M$ y la singularidad en $r=0$.

Los gráficos muestran que la gravedad en el interior de un agujero negro provoca una desaceleración de los cuerpos en movimiento,$\dfrac{d^2t}{dr^2}\lt 0$, y no acelerar los cuerpos en reposo y con la velocidad de la $\dfrac{dt}{dr}=0$.

Utilizando estos resultados, ahora podemos visualizar la geometría de un agujero negro de Schwarzschild en un espacio-tiempo reducido por una dimensión

En este diagrama, la coordenada $t$ es vertical. Fuera del horizonte de evento $t$ representa el tiempo; en el interior del horizonte de sucesos $t$ representa una dimensión espacial, que no apunta a la singularidad. La radial coordinar $r$ es espacial fuera del horizonte, pero representa el tiempo en el interior. Así, la singularidad es una línea a lo largo de la dimensión espacial de la $t$ en el momento de la $r=0$.

Un cuerpo que cae desde el horizonte de evento $A$ no tiene ningún impulso a lo largo de la dimensión espacial de la $t$. Por lo tanto, este cuerpo está inmóvil en el interior y se mueve sólo en el tiempo a lo largo de $r$$A$$B$. Debido a la simetría consideraciones, este cuerpo no puede obtener un impulso a lo largo de la dirección espacial de $t$ durante el otoño. Por esta razón, un cuerpo que cae desde el horizonte de evento tendría larga vida en el interior del horizonte, como se discutió anteriormente. Mientras llamamos a este movimiento de "caída libre", en el hecho de que el cuerpo permanece inmóvil en el espacio.

Un cuerpo en caída libre desde el infinito, o desde cualquier punto fuera de los moverá fuera del horizonte a lo largo de la línea geodésica de$C$$D$. Pasado el punto de $D$ tiempo diverge a infinito para un observador externo. Después de cruzar el horizonte, este cuerpo continúa moviéndose a lo largo de la línea geodésica de $E$ $F$(véase también la línea geodésica cuadro de arriba). Debido a que este cuerpo se mueve en el espacio a lo largo de la dimensión de $t$, el cuerpo experimenta una dilatación del tiempo, debido al movimiento que acorta su total en el tiempo apropiado, en el interior del agujero negro.

Para extender el tiempo apropiado, el movimiento a lo largo de $t$ debe ser desacelerado y se detuvo, como se muestra en $G$. Después de que el cuerpo está parado sin movimiento en el espacio a lo largo de $t$ mientras se mueve sólo en el tiempo a lo largo de $r$$G$$H$. Obviamente, siempre que el tiempo de desaceleración es insignificante, la vida de este cuerpo es maximizada como se discutió anteriormente.