$\mathbf{Background:}$
El siguiente es el resumen de `las Representaciones de la rotación y de Lorentz grupos y sus aplicaciones," por Gel'fand.
Considere la posibilidad de un finito-dimensional representación $T: SO_3 \to GL_n$ de la rotación del grupo. Elementos de la etiqueta de $SO_3$$(\theta_1,\theta_2,\theta_3)$. Tenemos (real $s,t$): \begin{align} T_{jk}[s \cdot (\theta_1,\theta_2,\theta_3)] \cdot T_{kl}[t \cdot (\theta_1,\theta_2,\theta_3)] = T_{jl}[(s+t)\cdot (\theta_1,\theta_2,\theta_3)] \end{align} La aplicación de $\frac{d}{ds} \rvert_{s=0}$ a ambos lados (asumiendo $T$ es tal que se puede hacer esto), obtenemos: \begin{align} \theta_a \cdot A^a_{jk} \cdot T_{kl}[t \cdot (\theta_1,\theta_2,\theta_3)] = \frac{d}{dt} T_{jl} [t\cdot (\theta_1,\theta_2,\theta_3)] \end{align} donde: \begin{align} A^a = \frac{\partial}{\partial \theta_a} \rvert_{\theta_1 = \theta_2 = \theta_3 = 0}\ T[(\theta_1,\theta_2,\theta_3)] \end{align} La solución de estas ecuaciones diferenciales es: \begin{align} T_{jk}[t\cdot (\theta_1,\theta_2,\theta_3)] = (\exp [ t \cdot \theta_a \cdot A^a ])_{jk} \end{align} Establecimiento $t=1$, vemos que la representación $T$ está completamente determinado si se nos dan las matrices $A^1,A^2,A^3$.
$\mathbf{Question:}$
Considere la posibilidad de un infinito dimensional rep $T : SO_3 \to C^\infty(\mathbb{R}^3)$. Puede que el argumento anterior se rigurosa en este caso, con $A^1, A^2, A^3$ como operadores diferenciales?
Uno de los problemas es que la ecuación \begin{align} \theta_a \cdot A^a \cdot T[t \cdot (\theta_1,\theta_2,\theta_3)] = \frac{d}{dt} T [t\cdot (\theta_1,\theta_2,\theta_3)] \end{align} ya no es más un sistema de (un número finito) de ecuaciones diferenciales ordinarias. También, no estoy seguro de si $A^a = \frac{\partial}{\partial \theta_a} \rvert_{\theta_1 = \theta_2 = \theta_3 = 0}\ T[(\theta_1,\theta_2,\theta_3)]$ está bien definido.
La escritura de la rotación de los vectores ($\theta_1,\theta_2,\theta_3$) en coordenadas esféricas en lugar de coordenadas cartesianas, el Gel'fand obtiene, por ejemplo, $A^z \sim \frac{\partial}{\partial \phi}$ donde $\phi$ es el ángulo azimutal. Eso es lo que estoy tratando de justificar.
