Imagina que tienes un % de espacio topológico $(M,T)$que no es Hausdorff. Entonces, hay un conjunto de $S$ de pares de puntos de $x,y$ que hay no hay barrios separados de $x$ y $y$. Parece que la relación $x \sim y \leftrightarrow (x,y)\in S$ es una relación de equivalencia, cual meens puede formar el cociente espacio $M/\sim $, y parece que este espacio es Hausdorff. ¿Soy yo con mi conclusión y hay un nombre para esta construcción?
Respuesta
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No, esto no funciona para un par de razones. En primer lugar, $S$ no es una relación de equivalencia en general: puede no ser transitivo.
En segundo lugar, incluso si dejas $\sim$ ser el cierre transitivo de $S$, $M/{\sim}$ no puede ser Hausdorff. Por ejemplo, supongamos $M=\mathbb{Z}\cup\{\infty\}$, topologized de la siguiente manera. Un conjunto $U\subseteq M$ está abierto iff:
- Si $n\in\mathbb{Z}$ es impar y $n\in U$,$n+1\in U$$n-1\in U$.
- Si $\infty\in U$, entonces no existe $n\in\mathbb{Z}$ tal que $m\in U$ todos los $m\geq n$.
A continuación, $(x,y)\in S$ fib bien $x=y=\infty $ o $x,y\in\mathbb{Z}$ y, o bien $|x-y|\leq 1$ o $x$ $y$ son ambos impares y $|x-y|\leq 2$. El cierre transitivo de la relación que se tiene sólo dos clases de equivalencia, $a=\{\infty\}$$b=\mathbb{Z}$. Por lo que el cociente $M/{\sim}=\{a,b\}$ tiene dos puntos. Por otra parte, el único conjunto abierto que contiene a $a$ es la totalidad del espacio, ya que cualquier barrio de $\infty$ debe contener puntos de $\mathbb{Z}$. Por lo tanto $M/{\sim}$ no es Hausdorff.
Para obtener un espacio de Hausdorff, en su lugar, debe repetir este proceso transfinitely, hasta finalmente llegar a un cociente que es Hausdorff. Este cociente es el cociente por el más pequeño de equivalencia de la relación en $M$ con un Hausdorff cociente. Esto es a veces llamado el "Hausdorffification" de $M$; véase la Construcción de un espacio de Hausdorff de topológico, espacio para otras construcciones y más información sobre este cociente.
