Un problema de cálculo en la teoría de campo conformacional

Question

Este problema es en Di Francesco del libro I. ejercicio 7.1: Calcular la norma de la siguiente vector, donde $\lvert h\rangle$ es el estado de mayor peso.

$$L_{-1}^n\lvert h\rangle$$

He intentado utilizar las relaciones de conmutación de la $L$ operadores y el hecho de que $L_1$ actúa en $\lvert h\rangle$$0$. Pero como el cálculo pasa, las cosas empezaron a ser molesto. Acabo de encontrar demasiado complicado.

Relaciones de conmutación: $$[L_n,L_m]=(n-m)L_{n+m}+\frac{c}{12}\delta_{n+m,0}n(n^2-1) $$
Es, de hecho, nos pide calcular: $\langle h|L_1^nL_{-1}^n|h\rangle $. Y tenemos las siguientes relaciones: $$\langle h\rvert L_{-1}=0 \quad\mbox{and}\quad L_1\lvert h\rangle=0. $$

Answer 1

Voy a describir los pasos para usted y usted puede rellenar los detalles:

i)Calcular el $[L_1, L_{-1}]=\cdots=2L_0$.

ii) Usando el hecho de que $L_1 L_{-1}=[L_1, L_{-1}]+L_{-1} L_{1}$ y $L_0|h\rangle=h|h\rangle $, intentar calcular $\langle h|L_1 L_{-1}|h\rangle =\cdots\stackrel{?}{=}2h$.

iii) Calcular la cantidad que (probablemente) ser de utilidad más adelante: $$\langle h|(L_1 L_{-1})^n|h\rangle =\cdots\stackrel{?}{=}(2h)^n$$

iv) La parte más difícil) que Hemos hecho en el caso de $n=1$ cantidad $\langle h |L_1^n L_{-1}^n |h\rangle$ en me), pero usted también tendrá que hacer el caso para $n=2$ $n=3$ a mano, utilizando las fórmulas en i) y ii) anteriores, y a partir de eso, tratar de deducir inductivo fórmula para el caso general. Voy a tener que admitir que a pesar de que la deducción de la forma general (que puede ser demostrado por inducción) a partir de unos pocos casos puede ser muy duro!

Espero que esto ayude!

Answer 2

Insinuación:

$$ \ langle h | L_1 ^ n L _ {- 1} ^ n | h \ rangle ~ = ~ \ sum_ {i = 0} ^ {n-1} \ langle h | L_1 ^ {n-1} L _ {- 1} ^ {n-1-i} [L_1, L _ {- 1}] L _ {- 1} ^ i | h \ rangle ~ = ~ \ ldots $$ $$ ~ = ~ 2 \ sum_ {i = 0} ^ {n-1} \ langle h | L_1 ^ {n-1} L _ {- 1} ^ {n-1} (L_0-i) | h \ rangle ~ = ~ \ ldots $$ $$ ~ = ~ n (2h- (n-1)) \ langle h | L_1 ^ {n-1} L _ {- 1} ^ {n-1} | h \ rangle ~ = ~ \ ldots ~ = ~ n! \ Prod_ {i = 0} ^ {n-1} (2h-i). $$