Objetivo inferencial bayesiano

Question

En la estadística frecuentista, es decir, la basada en el muestreo, prevemos una población objetivo sobre la que se realiza la inferencia. A pesar de que nuestras llamadas muestras aleatorias de esta población suelen ser más bien muestras de conveniencia, intentamos inferir desde una muestra a la población. Por ejemplo, en un ensayo clínico aleatorio pretendemos tener una muestra aleatoria de pacientes con insuficiencia cardíaca e intentamos hacer una inferencia sobre el efecto medio del tratamiento en la población mundial de pacientes con insuficiencia cardíaca.

Por otro lado, en la inferencia bayesiana hacemos declaraciones de probabilidad sobre el efecto medio desconocido del tratamiento sin hablar necesariamente de una "población". ¿Cuál es el enunciado exacto de lo que inferimos? ¿Es que el tratamiento fue realmente eficaz en el grupo de pacientes que analizamos? ¿Una inferencia más profunda?

Actualización

Parece que es seguro plantear el objetivo inferencial como un parámetro en el proceso de generación de datos subyacente. Esto es algo más general que prever una determinada población humana. Esta generalidad permite prever no sólo la realización de una inferencia sobre una población, sino la inferencia sobre experimentos repetidos con los sujetos incluidos inicialmente en el análisis. Por ejemplo, se podría estimar un parámetro para el proceso que generó las observaciones para un conjunto específico de sujetos, si esos sujetos se estudiaran repetidamente de nuevo (como se hace en los estudios cruzados sin efectos de arrastre). Tales repeticiones observarían diferentes errores aleatorios para esos sujetos en la medición de sus resultados.

Puede haber una forma más general de formular el objetivo.

Answer 1

"¿Cuál es la afirmación exacta de lo que estamos deduciendo? ¿Es que el tratamiento fue realmente eficaz en el grupo de pacientes que analizamos? ¿Alguna inferencia más profunda?"

Creo que estás confundiendo los términos del arte con la discusión. Uno de los retos de hablar de cosas en múltiples paradigmas es que los diferentes paradigmas pueden usar las mismas palabras para definir cosas diferentes, o pueden no discutir directamente algo que es de importancia crítica para un paradigma, pero no para el otro. Tanto los frecuentistas como los bayesianos, por ejemplo, tienen un concepto llamado "expectativa", pero ambos lo definen de una manera que no tiene sentido en el otro paradigma.

Creo que esto es lo que ocurre aquí. Las estadísticas de muestreo tienen que ocuparse de la "población", precisamente porque trabajan en el espacio muestral. No es que a un bayesiano no le importe, es que no repercute tan directamente en su cálculo.

Un segundo problema es que la estadística bayesiana no es un solo campo, ya que hay múltiples estructuras axiomáticas que se pueden utilizar. La forma de discutir la realidad puede cambiar si se utilizan los axiomas de De Finetti en lugar de los de Cox. También podría depender de si usted es un bayesiano objetivista que cree, como los frecuentistas, que los parámetros de la población son puntos fijos, pero cuya ubicación es desconocida, frente a los bayesianos subjetivistas que creen que el parámetro de la población es una distribución que la naturaleza extrae y no un punto fijo.

Alguien como Jaynes, que utiliza los postulados de Cox, crearía hipótesis en términos de afirmaciones lógicas. Por ejemplo, la hipótesis uno podría ser que una droga no es dañina. La hipótesis dos sería que es perjudicial. Implícitamente, se trata de una afirmación universal y, por tanto, de una afirmación poblacional. La población no se menciona en ningún momento.

Ambos métodos dependen de la muestra para la inferencia, pero un bayesiano puede tener un número infinito de hipótesis. Para un bayesiano es más importante ser claro en lo que afirma y por qué.

Hay otra diferencia que es importante. Cuando se utiliza un método frecuencial, lo que interesa es la distribución muestral de la estadística y no la distribución muestral de los datos. Infinitas distribuciones tendrán una media poblacional y todas ellas utilizarán una prueba t o una prueba z. El bayesiano se ocupa de la distribución muestral de los datos, pero no de los parámetros.

Consideremos un conjunto de sucesos independientes que mapean una probabilidad sobre el conjunto [0,1] en $d$ dimensiones. Será aproximadamente normal multivariante cuando el tamaño de la muestra sea lo suficientemente grande. Supongamos ahora que, aunque los sucesos son independientes, los componentes que forman las dimensiones no lo son. Forman parte de un sistema. Supongamos también que comparten una varianza común, $\sigma^2_i=\sigma^2_j,\forall{i,j}\in{D}$ y que la información sobre cualquier medio existe en los otros medios.

El posterior bayesiano para el conjunto $\mu_i,i\in{1\dots{d}}$ para dimensiones independientes con varianzas independientes y sin información compartida sobre las medias se vería muy diferente de uno en el que se asume una varianza común $\sigma^2$ y la información compartida. Las pruebas frecuencialistas no serían diferentes, pero los posteriors bayesianos sí.

Los métodos bayesianos se preocupan por la población a través de la función de verosimilitud porque modelan cómo se generan los datos en primer lugar en la naturaleza. Por eso son tan importantes los métodos bayesianos de selección de modelos, porque es posible que no se conozca el verdadero modelo en la naturaleza que utiliza la población.

Answer 2

Esta pregunta parece estar basada en un concepto erróneo. La diferencia entre los marcos inferenciales bayesiano y frecuentista no es que uno esté "basado en el muestreo" y el otro no. Son los métodos de remuestreo los que arrojan resultados con el alcance directo limitado de la inferencia, como la afirmación "¿Es... el tratamiento... realmente eficaz en el grupo de pacientes que analizamos?".

En mi opinión, hay varias diferencias entre los marcos frecuentista y bayesiano que adquieren mayor o menor importancia según el contexto.

Una diferencia importante es que los enfoques frecuentistas sólo pueden producir probabilidades del tipo de frecuencia de los eventos, mientras que los enfoques bayesianos pueden producir probabilidades del tipo de creencia fraccional. Así, mientras que un método bayesiano puede producir un resultado en forma de creencia racional sobre el efecto de un tratamiento en un conjunto de pacientes, uno frecuentista producirá una declaración sobre la frecuencia con la que podría observarse dicho efecto del tratamiento a largo plazo dado un valor específico del parámetro de interés. Cualquier conexión entre el resultado frecuentista y la creencia no es estadística.

Los métodos frecuentistas tratan los parámetros como fijos, mientras que los métodos bayesianos los tratan como variables. Esto conlleva una diferencia en el tratamiento de las pruebas. Las pruebas proporcionadas por las observaciones suelen entrar en los métodos bayesianos en forma de una función de verosimilitud que tiene al menos un eje (dimensión) correspondiente al parámetro o parámetros de interés. Los métodos frecuentistas suelen centrarse en un único valor (nulo) del parámetro de interés y, por tanto, rara vez utilizan toda la función de verosimilitud. Por lo tanto, los enfoques frecuentistas no sopesan el apoyo probatorio de todos los posibles valores del parámetro y se considera que los datos apoyan el valor nulo (¿no lo apoyan?) o apoyan un punto no especificado dentro de una alternativa difusa no nula.

La última diferencia notable que mencionaré es la que a menudo se describe como la principal: Los métodos bayesianos pueden tener en cuenta explícitamente la información u opinión existente en los cálculos estadísticos, mientras que los métodos frecuentistas no pueden. Si se dispone de una información previa no engañosa, su uso parece positivo, pero a mucha gente le preocupa la posibilidad de subjetividad en la inferencia estadística.

Answer 3

Un documento que me aclaró mucho estas cuestiones fue "Modelos para la falta de respuesta en las encuestas por muestreo" por Rod Little.

Se discuten modelos que incluyen como objetivos inferenciales tanto 1. cantidades resumidas para poblaciones realmente existentes, como 2. parámetros que especifican "superpoblaciones" hipotéticas. También es excepcionalmente claro.