Estoy haciendo algunos ejercicios en un libro sobre el análisis asintótico. Aunque creo que he encontrado una solución a este problema, no estoy del todo seguro si es correcto, y quiero asegurarme de que sé lo que está pasando.
El ejercicio es mostrar que $\int_1^x (1+t^{-1})^t dt = ex - \frac{1}{2}e \log{x} + O(1)$ $x > 1$ , con la pista para el primer espectáculo que $e^{-1}(1+t^{-1})^t = 1 -\frac{1}{2}t^{-1} + O(t^{-2})$, $(t > 1)$. Llegar a la primera instrucción de la segunda es simple. Utilizando el hecho de que $\log(1+t^{-1}) = t^{-1} - \frac{1/2}t^{-2} + O(t^{-3})$$t>1$, tenemos que
$$e^{-1}(1+t^{-1})^t = \exp(t\log(1+t^{-1})-1)=\exp(-\frac{1}{2}t^{-1}+O(t^{-2})))$$
En este punto, tengo que usar lo que se siente como un muy handwavey argumento y argumentan que, puesto que $-\frac{1}{2}t^{-1}+O(t^{-2})) = 1 -\frac{1}{2}t^{-1} + O(t^{-2})$, la evaluación de una función decreciente (que $\exp$ está en el lado izquierdo, para valores dados de $t$) en el lado izquierdo de preservar la relación.
Por lo tanto, mi pregunta es si mi derivación es correcto, sobre todo la última parte. Además, tengo curiosidad por que la última parte es necesario - se siente como tirar un montón de información (a pesar de que podría no ser utilizado para la cantidad de información que tirar en asintótica pruebas), y mi única conjetura en cuanto a por qué es algo que es fácil de integrar. ¿Hay alguna otra razón?
