Calculando

Question

Parece que$\lim\limits_{x\rightarrow 0^{+}} \dfrac{x^{\min(a,b)}}{x^a+x^b}$ es$1$ si$a\ne b$, independientemente de los valores de$a$ y$b$, pero ¿es esto cierto? ¿Qué significa este límite en general?

¡Gracias!

Answer 1

Debo decir que es trivial. Para$x\rightarrow 0$, debe mantener la potencia más pequeña de$x$. Eso es. Pero si$a\neq b$ entonces, con seguridad,$b>a$ y debe mantener solo los términos que contengan$a$ y nuevamente tiene 1.

Answer 2

Sin pérdida de generalidad, supongamos que$a\le b$. Entonces $$ \ lim_ {x \ a 0 ^ +} \ frac {x ^ a + x ^ b} {x ^ a} = 1 + \ lim_ {x \ a 0 ^ +} x ^ {ba} = \begin{cases} 2,&b=a\\ 1,&b>a\;, \end {casos} $$

entonces $$ \ lim_ {x \ to 0 ^ +} \ frac {x ^ a} {x ^ a + x ^ b} = \begin{cases} \frac12,&b=a\\\\ 1,&b>a\;. \end {cases} $$

Answer 3

HINT $\ $ Es fácil calcular el límite de un cociente de dos polinomios que tienen el mismo orden$\rm\:n\:$ porque la cancelación de su factor común$\rm\:x^{\:n}\:$ deja un límite determinado, a saber

ps