A tiene una extensión de uno mismo-adjoint

Question

Deje $A$ ser un operador simétrico satisfacer $\langle \phi,A\phi\rangle\geq C\lVert \phi\rVert^{2}$ todos los $\phi\in \mathcal{D}(A)$ y algunos $C\in \mathbb{R}$. Muestran que la deficiencia de indiecs son iguales, es decir, $d_{+}(A)=d_{-}(A)$, y por lo tanto $A$ tiene un auto-adjunto de extensión.

Así que la idea que tengo es que de alguna manera muestran que a partir de la condición de que $A$ es cerrado, pero me parece que no puede mostrar, a continuación, de nuevo, ni siquiera sé si puedo concluir que $A$ está cerrada a partir de esa condición.

Desde $A$ es simétrica sé que $\mathcal{D}(A)$ es denso, entonces podemos definir la adjoint $A^*$. Ahora $\mathcal{D}(A^{*})=\{h\in \mathcal{H}:~\exists~ \eta~ st ~\forall ~\phi\in \mathcal{D}(A) ~ we ~have ~\langle A\phi,h\rangle =\langle \phi,\eta\rangle~ \}.$ de esto podemos ver que desde $A$ es simétrica que $\mathcal{D}(A)\subset \mathcal{D}(A^{*})$, por lo que sabemos que $A$ es closeable desde $\mathcal{D}(A^{*})$ es densa.

Answer 1

Deje $\rho_A$ el conjunto de puntos regulares de $A,$ es decir $$\rho_A=\{\lambda\in\mathbb C\mid\forall\varphi\in D(A): ||(A-\lambda)\varphi||\geq c||\varphi||\ \mbox{for some}\ c=c_\lambda>0\}.$$

Para cada $\lambda\in\rho_A$ no es un defecto índice definido por $d_A(\lambda)=\dim Ran(A-\lambda)^\perp.$

Teorema (ver, por ejemplo, Birman, Solomyak "Espectral de la Teoría", 3.7., Teorema 4):

El conjunto $\rho_A\subseteq\mathbb C$ está abierto, y $d_A(\lambda)$ es constante en cada componente conectado.

Desde $A$ es simétrica, $\rho_A$ contiene inferior y superior (abrir) la mitad de los aviones de $\mathbb C_+,\mathbb C_-.$ El semiboundedness implica que $\rho_A$ contiene un punto de $\mathbb R.$ por lo tanto $\pm i$ pertenecen a la misma componente conectado de $\rho_A$ $d_+(A)=d_A(i)=d_A(-i)=d_-(A).$