Terminación del Grupo topológico con métrica

Question

Relacionado con esta cuestión, estoy teniendo problemas para entender la construcción de la finalización de un grupo topológico con la métrica de la estructura. En particular, ¿en qué condiciones es la conclusión también un grupo topológico?

Deje $(X,+)$ ser un grupo abelian y $d$ una métrica en $X$. Denotar por $\hat{X}$ a la finalización de $X$ con respecto a la métrica de $d$. Supongamos $a,b \in \hat{X}$, a continuación, estos elementos son clases de equivalencia de secuencias de Cauchy en $X$. La notación sabio, $a=[a_n]$ $b=[b_n]$ para secuencias de Cauchy $\{a_n\}$$\{b_n\}$$X$. Aquí es donde a mi entender se pone borroso...

Ahora vamos a definir un grupo de operación $\hat{X}$, vamos a $a+b$ ser la equivalencia de la clase $[a_n+b_n]$ donde $\{a_n+b_n\}$ es el término sabio suma de las dos secuencias de $\{a_n\}$$\{b_n\}$. La primera cosa que usted quiere comprobar es que esta nueva secuencia de hecho es de Cauchy, pero esto no está garantizado por la suposición de que $+$ es continua con respecto a $d$. Si usted puede demostrar esto, entonces la prueba de que la nueva operación está bien definido es básicamente el mismo. Si $d$ es inducida por una norma (o cualquiera de las otras condiciones de mi otra pregunta), creo que las cosas pasan. Pero no puedo encontrar una declaración de un teorema.

Este PlanetMath página define el grupo de operación $\hat{X}$ en una manera similar, afirmando que esta definición pone de $\hat{X}$ en un grupo topológico. Pero las condiciones no son ", declaró precisamente". Entonces, ¿qué hipótesis deben ser formuladas acerca de la relación de $d$ $+$ para asegurarse de que el $\hat{X}$ es un grupo topológico? Me siento como que no estoy entendiendo algo. Las eventuales referencias que sería muy útil. Me miré en Bourbaki, pero la prueba es demasiado general; creo que sería útil para comprender las cosas en el caso de que $X$ es un espacio métrico.

Answer 1

La extensión es posible con el uniforme de la continuidad

Si $(X,+)$ es un grupo topológico y $+:X\times X\to X$ es uniformemente continua, entonces un topológica de la estructura del grupo es inducida en la finalización. Para ver esto primero debemos mostrar ese uniforme continuidad garantiza que si $a_n$ $b_n$ son de Cauchy, entonces también lo es $a_n + b_n$.

Elija cualquier $\epsilon>0$. Por uniforme de continuidad, hay un $\delta>0$ así que si $d(x,x')<\delta$$d(y,y')<\delta$$d(x+y,x'+y')<\epsilon$. Desde $a_n$ $b_n$ son de Cauchy podemos tomar $N$ suficientemente grande como para que $d(a_m,a_n)<\delta$ $d(b_m,b_n)<\delta$ todos los $m,n>N$. A continuación, $d(a_m+b_m,a_n+b_n)<\epsilon$ todos los $m,n>N$. Desde $\epsilon>0$ fue arbitraria, $a_n+b_n$ es de Cauchy.

Esto significa $+:X\times X\to X$ se extiende a una bien definida mapa a partir de pares de secuencias de Cauchy en $X$ a secuencias de Cauchy en $X$. Argumentos similares muestran que el equivalente de Cauchy secuencias son asignados a equivalentes de secuencias de Cauchy, por lo $+$ se extiende a un mapa de $\hat{+}:\hat{X}\times\hat{X}\to\hat{X}$ en la realización, y que este mapa es continua. Las identidades algebraicas satisfecho por $+$ extender a $\hat{+}$ mediante la aplicación de estas identidades a la definición de $\hat{+}$. En particular, $(\hat{X},\hat{+})$ es un grupo topológico, abelian si $(X,+)$ fue.

La extensión no es posible en general

Algunas de las condiciones adicionales en $+$ más allá de la continuidad en verdad se necesita. Para ver esto, escoja cualquier topológica de la estructura del grupo $(I,\oplus)$ $I = (-1,1)$ con el estándar métrico. Por ejemplo, supongamos $f: I\to\mathbb{R}$ ser un homeomorphism, tales como $f(x) = \tan(\frac{\pi}{2}x)$, y definir un $\oplus$ tirando hacia atrás de la norma de estructura aditiva $(\mathbb{R},+)$ a lo largo de $f$: \[ un\oplus b = f^{-1}(f(a)+f(b)). \] Tenga en cuenta que hemos definido la métrica en la $I$ a ser el estándar de un hereda como un subespacio de $\mathbb{R}$, no la inducida tirando hacia atrás a lo largo de $f$.

Un grupo topológico estructura $(I,\oplus)$ no se extiende a la finalización de la $\hat{I} = [-1,1]$. Si lo hiciera, $I$ sería un subgrupo de $\hat{I}$, por definición, de "extender". A continuación, $\hat{I}$ sería dividido en cosets de $I$, por lo tanto sería el $\hat{I}\setminus I$, pero $\hat{I}\setminus I = \{-1,1\}$ tiene un número finito distinto de cero número de puntos y así no se puede dividir en subconjuntos de tamaño continuo.