¿Por qué es homotopía complicado?

Question

Ahora después de un (probablemente) super suave pregunta: Homotopy teoría parece ser uno de los más importantes de la actual investigación en temas de topología. Mientras que la (co)homología parece ser bastante fácil (o al menos no demasiado), homotopy teoría parece ser bastante complicado. ¿Cuál es la razón para esto?

Por favor, tenga en cuenta que la pregunta no es ¿por qué homotopy es difícil de calcular. Tengo que saber sobre el fallo de la escisión de mayor homotopy grupos, pero eso no explica por qué, por ejemplo, el homotopy-grupos de esferas son tan complicados. Podría ser el caso, que tenemos que poner en un gran esfuerzo para encontrar, por ejemplo, $\pi_n(\mathbb{S}^k)=H_n(\mathbb{S}^k)$ (tanto por Hurewitz o no). Pero resulta que esos grupos no sólo son muy difíciles de calcular, pero también parece ser casi cualquier patrón.

Entonces, ¿cuál es la diferencia conceptual entre homotopy y homología de hacer el uno "fácil" y el otro "duro"?

Answer 1

Si usted ve homotopy grupos como simples abelian grupos, entonces no es de extrañar que usted no está viendo ningún patrón. Primero de todo, no hay sustitución de $\pi_k(S^l) \times \pi_l(S^h) \to \pi_k(S^h)$, que es lineal en la izquierda, pero no así en el derecho; por ejemplo, la precomposición estable de Hopf mapa de $S^{k+1} \to S^k$ es cuadrática. Luego hay Whitehead soporte, haciendo que todos los homotopy grupos de espacio fijo en clasificados superLie anillo. (Genialmente) el uso de esta estructura y algunos muy básicos homotopy teoría, es posible calcular el 10 de madre (he. e. $\pi_{n+10}(S^n)$) como se hace en "Métodos de Composición en Homotopy Grupos de Esferas" de Hiroshi Toda. Yo diría que no es de extrañar que gran colección de graduados álgebras de Lie en algunos complicada manera de actuar en cada uno de los otros muestran algunos de comportamiento interesante - y lo que es más intrigante, es el más natural de la estructura algebraica que viene directamente de la topología algebraica.

Otro punto es que homotopy grupos están en todas partes - homología es homotopy de infinito simétrica poder por Dold-Thom teorema, algebraica de K-teoría es homotopy, por lo que no podía esperar a ser algo sencillo.

El tercer aspecto es que normalmente pensamos en los espacios en modelo de celular, que se recorre en iteración los conos de mapas de esferas de diferentes dimensiones. Pero también hay una cocellular el modelo de la torre de Postnikov, que es fibration torre con $K(\pi_k, k)$ como fibras. Desde este punto de vista el cálculo de homotopy es muy fácil, pero simple, los objetos son muy diferentes.