Determinar si el conjunto es compacto

Question

$$S=\{1,1/2, 2/3,3/4,....\}$$ Creo que esto es compacto ya que tiene una secuencia que cubre todos los elementos en conjunto excepto $1$. Esta secuencia es $a_n=\frac n{n+1}$. Esta secuencia converge a $1$ por lo tanto todas las subsecuencias en $S$ convergen a $1$, que está en $S$. Además, está acotado en $[1/2, 1]$.

Answer 1

Sí, este conjunto es compacto según Heine-Borel. Es cerrado (contiene su punto límite) y está acotado.

Answer 2

Directamente de la definición de compacidad:

Sea $(V_i)_{i\in I}$ un recubrimiento abierto de $S$. Sea $i_0$ tal que $1\in V_{i_0}$.

Como $n/(n+1)\to 1$, $\exists n_0\in\Bbb N$ tal que $n\ge n_0\implies n/(n+1)\in V_{i_0}$.

Finalmente, para cada $n < n_0$ tomamos $i_n$ tal que $n/(n+1)\in V_{i_n}$.

La familia $\{V_{i_0}, V_{i_1},\dots,V_{i_{n_0-1}}\}$ es un subrecubrimiento finito de $S$.

Answer 3

CONSEJO:

$1$. Un conjunto $A\subseteq \mathbb{R}$ se dice que es compacto si es cerrado y acotado.

$2$. Si $D(A)\subseteq A$, entonces $A$ es cerrado.

NOTA: Para un conjunto dado $S$, todos sus términos están comprendidos entre $\frac{1}{2}$ y $1$.