¿Son las ecuaciones de Maxwell una descripción correcta del carácter ondulatorio de los fotones?

Question

En los cursos básicos de mecánica cuántica, se describe la evolución de la mecánica cuántica cronológicamente. Los experimentos de interferencia con partículas demostraron que las partículas debían tener carácter de onda; por otro lado, el efecto fotoeléctrico demostró que las ondas electromagnéticas debían tener carácter de partícula. Así que hay una dualidad partícula-onda .

El curso continúa con la postulación de la Ecuación de Schrödinger y resuelve los problemas del carácter ondulatorio de las partículas clásicas (por ejemplo, con respecto a los osciladores armónicos para resolver la catástrofe ultravioleta en la descripción de la radiación del cuerpo negro). Por otro lado, se describe ampliamente el efecto fotoeléctrico con la teoría de perturbaciones, ya que la onda electromagnética actúa como una fuerza periódica sobre un electrón. Pero la onda electromagnética se sigue describiendo con las ecuaciones de Maxwell, y no por Schrödinger.

Supongamos que la historia fuera un poco diferente : el carácter corpuscular seguiría siendo el comportamiento generalmente aceptado de la luz (como prefería Newton), y se descubrió el carácter ondulatorio de los fotones y los electrones simultáneamente haciendo experimentos de interferencia. Aún no se habían descubierto las leyes de Maxwell, Gauss, Faraday y Ampère. Schrödinger propone su ecuación, y con ella se describe el carácter ondulatorio tanto de los electrones como de los fotones.

¿Daría esta ecuación una descripción exhaustiva del comportamiento electromagnético (y vectorial) de los fotones? En otras palabras: ¿es la Teoría de Schrödinger de alguna manera, equivalente a la Teoría de Maxwell para la descripción de los fotones? ¿O son las ecuaciones de Maxwell una especie de límite para dimensiones mayores (como las ecuaciones de Newton para la mecánica)? ¿Cuál es el vínculo entre estas dos descripciones de "carácter ondulatorio" de los fotones?

Answer 1

¿Son las ecuaciones de Maxwell una descripción correcta del carácter ondulatorio de los fotones?

Sí, las ecuaciones de Maxwell son la ecuación de onda para un fotón, al igual que la ecuación de Schrodinger es la ecuación de onda para un electrón no relativista.

En otras palabras: ¿es la teoría de Schrödinger, de alguna manera, equivalente a la teoría de Maxwell para la descripción de los fotones?

Como otros han señalado, no se puede aplicar la ecuación de Schrodinger $i\hbar d\Psi/dt=-(\hbar^2/2m)\nabla^2\Psi$ a los fotones, porque la ecuación de Schrodinger es no relativista, y un fotón nunca es no relativista.

Supongamos que la historia fuera un poco diferente: el carácter corpuscular siguiera siendo el comportamiento generalmente aceptado de la luz (como prefería Newton), y se descubriera el carácter ondulatorio de los fotones y los electrones simultáneamente haciendo experimentos de interferencia.

Esta es una pregunta muy buena. En Peierls, Surprises in Theoretical Physics, sección 1.3, hay un buen debate sobre este tema:

Una de las ideas más básicas de los mehcníacos cuánticos es la analogía entre la luz y la materia [...] A partir de ahí, podría parecer un accidente de la historia que los físicos se encontraran originalmente sólo con los aspectos ondulatorios de la luz y sólo con los aspectos corpusculares de las partículas con masa, como los electrones. Por tanto, resulta sorprendente descubrir que no se trata de un accidente y que la analogía entre la luz y la materia tiene graves limitaciones.

No intentaré ofrecer un análisis tan completo como el de Peierls en una respuesta de physics.SE, pero un punto crucial es que, como los fotones son bosones, se puede tener una superposición coherente de fotones en la que un gran número de fotones se empaquetan en un volumen igual a una longitud de onda cúbica. Dicha superposición puede tener una amplitud y una fase bien definidas que pueden medirse con dispositivos de medición clásicos como las antenas.

Pero no se puede hacer esto con los electrones, porque son fermiones. Por eso la función de onda del electrón no es un campo clásico que pueda medirse directamente.

Answer 2

Sería esta ecuación dar una descripción exhaustiva de la electromagnética (vector y como) el comportamiento de los fotones? En otras palabras: es la teoría de Schrödinger, en cierto modo, equivalente a la La teoría de Maxwell para la descripción de los fotones? O son las de Maxwell ecuaciones de algún tipo de límite para dimensiones mayores (como el de Newton las ecuaciones de la mecánica)? ¿Cuál es el vínculo entre estos dos "onda el carácter" descripciones de los fotones?

Un fotón es una excitación de un "modo", es decir, una solución de las ecuaciones de Maxwell satisfacer las condiciones de contorno adecuadas. Por ejemplo, un campo limitado a estar dentro de una cavidad ha de satisfacer las condiciones de frontera determinada por la cavidad. Un campo en el espacio libre puede ser un esféricamente simétrica solución, dependiendo de la fuente propiedades etc. Una vez que haya elegido su solución, usted puede, en principio (en la práctica esto puede ser muy complicado, a menos que usted está haciendo la física de partículas, en lugar de óptica cuántica!), poner una excitación en él, la creación de un de un fotón de estado.

Ahora, aunque el modo es una solución de las ecuaciones de Maxwell, el estado (al menos en el Schroedinger imagen), satisface la ecuación de Schroedinger. Esto es sólo el equivalente a decir que evoluciona unitarily en el tiempo.

Esta ecuación de Schroedinger, sin embargo, no es la "ecuación de onda de los fotones" de la misma manera que en una sola partícula de la mecánica cuántica, la ecuación de Schroedinger es la ecuación de onda de la partícula. Más bien, es el tiempo de la ecuación de evolución para el estado, que tiene lugar en el espacio de Hilbert, no en el espacio-tiempo. Tratando de emular la partícula QM descripción mediante la construcción de una función de onda de los fotones es difícil:

La función de onda sería el producto interior del estado con la posición de autoestados $|x\rangle$ $$ \Psi(x)=\langle x|\Psi\rangle$$ The difficulty comes about because there isn't a(n undisputed!) Lorentz invariant position operator $\bf{\hat{x}}$ para los fotones.

Sin embargo, se puede crear fotones individuales de los estados. Estos, sin embargo, no son realmente "como" el clásico de campo que se corresponde con el modo excitado. Ver Lubos respuesta aquí para la discusión de la intensidad de campo eléctrico en un único fotón estado, por ejemplo. Si usted quiere algo que se parece a la música clásica, que necesita para construir el correspondiente estado coherente. Esto no se ha definido un número de fotones.

Answer 3

Siguiendo el comentario de Alfred Centauri, permítanme supongamos que usted discutió la Dirac teoría de los electrones, y no la de Schrödinger. Volveré más tarde sobre la posibilidad de describir la materia-luz de la interacción utilizando la ecuación de Schrödinger.

La Dirac teoría describe el (especial) relativista comportamiento de una partícula. Cuando se complementa con el principio de invarianza de norma (en particular la sustitución de la normal derivados por la covariante), se da la básica patio de recreo para la simultánea descripciones del campo electromagnético (Faraday la ley y la ausencia de monopolo magnético), la carga asociada a la relativista de la partícula (la ecuación que sustituye la ecuación de Newton con la fuerza de Lorentz si lo desea, pero esto ha de ser, aunque con cuidado) y su acoplamiento (ecuaciones similares a la de Maxwell-Ampère y de Gauss, pero la actual y las densidades de carga tiene plena cuántica, es decir, nada más fluido interpretación como para la clásica del electromagnetismo).

Obviamente, todo se complica cuando se intenta digitalizar el campo electromagnético. La discusión anterior no se discute la aparición de los fotones.

Yo diría que la Wikipedia relacionados con la página a la ecuación de Dirac no es tan útil para la comprensión de este punto, pero podrías intentar abrir el libro de A. Mesías de la mecánica Cuántica (volumen II si no en una edición con los dos volúmenes en un libro), que contiene todos los pedagógicos detalles que usted necesita, incluyendo la cuantización del campo electromagnético en términos de fotones.

Schrödinger vs Dirac descripción de la materia

También se puede describir la interacción entre la materia y la luz mediante el uso de la ecuación de Schrödinger para el átomo. Este es el principal estudio de el libro

C. Cohen-Tannoudji, J. Dupont-Roc y G. Grynberg Fotones y Átomos: Introducción a la Electrodinámica Cuántica, Wiley (1992)

que sugiero leer. En resumen, cuando el campo magnético como la interacción es débil, la descripción utilizando la ecuación de Schrödinger es suficiente. Usted puede entender esto con la idea pictórica: cuando el (láser continuo) campo de luz no interactúa mucho con el (gas) de los átomos, el efecto se puede describir por el primer fin de plazo en la interacción, que ya está dado por la Schrödinger receta.

Histórico perpectives

Ahora, con respecto a su perspectiva histórica, parece altamente probable que Dirac habría descrito el acoplamiento entre los electrones y los fotones si él no eran conscientes de las ecuaciones de Maxwell. Esto es, una vez más debido a la invariancia gauge es crucial en la obtención de la unión. Puede encontrar más detalles acerca de la historia de la teoría de gauge en la excelente colección de artículos históricos por

L. O'Raifertaigh los albores de La teoría de gauge, Princeton serie en la Física (1997).

El mismo razonamiento se aplica a la ecuación de Schrödinger, porque todos estos físicos fueron profundamente influenciado por la noción de campo, que Maxwell realmente inventó la mitad de un siglo antes.

En resumen, la invariancia gauge es el ingrediente principal de la materia-interacción de campo, no de la ecuación que se va a utilizar para incluirlo.

También señaló:

1. La partícula comportamiento de la luz no era la conducta generalmente aceptados de la luz (como se dijo) en el tiempo de las ecuaciones de Maxwell. De hecho, los Jóvenes de dos ranuras experimento ya era conocido por la final de la 18 ª siglo.

2. Usted realmente no necesita para digitalizar los fotones de campo para entender el efecto fotoeléctrico. Esto se discute en un papel

   Cordero, W. E., & Scully, M. O. El efecto fotoeléctrico sin fotón, en la Polarización, matière et rayonnement (p 363-369). Presses Universitaires de France (1969).

donde se calcula el efecto fotoeléctrico quantising sólo el electrón / detector de comportamiento.

Answer 4

El fotón es una partícula elemental.

Las partículas elementales son descritos por los resto de la masa, spin y números cuánticos como se ve en la tabla. Luego ellos tienen atributos que son variables, como la energía y el impulso, que son estados medido con el correspondiente mecánica cuántica operador.

El fotón tiene spin 1, cero masa y carga cero. Su energía está dada por

E=h*nu, donde nu es la frecuencia de la caracterización de la misma .

La frecuencia es el único punto en común con el clásico electromagnética de la luz de la descripción. Esto se verifica con el experimento de doble rendija , que muestra la naturaleza probabilística de la mecánica cuántica cuando los fotones se proyecta uno por uno y el patrón de interferencia que se acumula . Es exactamente el patrón de interferencia dada por las soluciones de la clásica de Maxwell las ecuaciones de las ondas electromagnéticas.

De alguna manera, el gran conjunto de fotones contenidos en la onda de luz coherente de la producción de la onda electromagnética estudiado macroscópicamente. Por supuesto, esto es necesario para que un auto consistente de la teoría física. El macroscópico formas matemáticas tienen que surgen de las teorías microscópicas.

Así que sí, las ecuaciones de Maxwell describen los fotones, ya que dan un poquito de onda con la frecuencia de nu, la definición de la propiedad de cada uno de los fotones en el conjunto.

@LubošMotl tiene un artículo en su blog en el que se muestra cómo a partir de la segunda cuantización descripción de los fotones de la clásica de la onda electromagnética surge, de forma similar a cantidades termodinámicas surgen a partir de la mecánica estadística.

La ecuación de Schrödinger en este sentido no es equivalente a las ecuaciones de Maxwell.