álgebra lineal: imagen, kernel y transposición

Question

Dado que el $A$ $(n\times n)$ sesgo de simetría de la matriz de $(A^t = -A)$ y que $\mathrm{Img}(A) = \ker(A)$.

Nota aquí $n$ debe ser de la categoría de la nulidad teorema, $\mathrm{rango}(A) = \dim (\ker A )= n/2$.

Necesito mostrar que existe una $n/2$-dim subespacio $V\subconjunto \mathbb{R}^n$ such that the bilinear form $\langle v, Aw\rangle$ es no degenerada.

Mi pregunta es, que incluso en la $\mathbb{R}^n$, ya que sabemos $$\mathrm{Img}(A) = \ker(A^T)^\perp =\ker(- A)^\perp = \ker(A)^\perp $$ junto con la condición dada $\mathrm{Img}(A) = \ker(A)$, tendríamos $\ker(A)^\perp = \ker(A)$, pero esto es imposible.

Answer 1

De hecho, no existe una matriz sesgada simétrica distinta de cero$A$, de modo que${\rm Im} A\subset {\rm ker} A$. Debido a que esta última condición es equivalente a$A^2=0$, y como$A$ es sesgada-simétrica, esto implica que$A^TA=0$ y en consecuencia$\Vert Ax\Vert=0$ para cada vector$x$, es decir,$A=0$.