Grupo alternante en conjuntos infinitos

Question

Es bien sabido que el único subgrupo normal de $S_n$ es $A_n$ cuando $n \geqslant 5$, y que $A_n$ también es simple. Además, $A_{\infty}$, las permutaciones pares en $\mathbb{N}$, también es simple. Esto me llevó a preguntarme lo siguiente:

Tomemos un conjunto general $X$ con cardinalidad $\kappa > \aleph_0$ a partir del cual podemos generar el grupo $\text{Sym}\, X$.

Preguntas

• ¿Podemos definir un grupo alternante en $X$?

• En ese caso, ¿permanece como el único subgrupo normal de $\text{Sym}\, X$?

Answer 1

Si $\operatorname{Sym} X$ denota el grupo de permutaciones de soporte finito, puedes definir $\operatorname{Alt} X$ como el grupo de permutaciones pares de soporte finito. Si $N\subseteq \operatorname{Sym} X$ es un subgrupo normal, entonces $N\cap \operatorname{Sym} F$ es normal en $\operatorname{Sym} F$ para cualquier $F\subset X$ finito. Se sigue que si $N$ contiene alguna permutación par no trivial $\sigma$, debe contener todo $\operatorname{Alt} X$ (ya que para cualquier conjunto finito $F$ con al menos $5$ elementos que contiene el soporte de $\sigma$, debe contener todo $\operatorname{Alt} F$, y cada elemento de $\operatorname{Alt} X$ está en algún $\operatorname{Alt} F$). De manera similar, si $N$ contiene alguna permutación impar, debe ser todo $\operatorname{Sym} X$. Por lo tanto, el único subgrupo normal propio no trivial de $\operatorname{Sym} X$ es $\operatorname{Alt} X.

Si deseas considerar el grupo de todas las permutaciones de $X$ (con soporte arbitrario), entonces hay más subgrupos normales. Por ejemplo, para cualquier cardinal infinito $\lambda\leq|X|$, el subgrupo de permutaciones con soporte de cardinalidad $<\lambda$ es un subgrupo normal. De hecho, estos junto con el grupo alternado de soporte finito son todos los subgrupos normales propios no triviales del grupo de permutación completo (no conozco la demostración de esto de memoria; esto se conoce como el "teorema de Baer-Schreier-Ulam"). En particular, esto indica que no hay una noción razonable de "signo" para permutaciones con soporte infinito (no hay un subgrupo alternante de "$<\lambda$-soporte" entre los subgrupos normales a menos que $\lambda=\aleph_0$).