¿Cuáles son las condiciones suficientes para que una matriz tenga los mismos vectores propios que su exponencial?

Question

Si $\boldsymbol{A}$ es una matriz cuadrada, entonces es sencillo demostrar que cada vector propio de $\boldsymbol{A}$ es también un vector propio de $e^\boldsymbol{A}$ .

Por otro lado, un vector propio a $e^\boldsymbol{A}$ no es necesariamente un vector propio de $\boldsymbol{A}$ . Por ejemplo, los vectores propios a $$ \boldsymbol{A}= \begin{bmatrix} 2\pi i& 0 \\ 0 & 4\pi i \end{bmatrix} $$ son los múltiplos escalares de $\begin{bmatrix}1 & 0\end{bmatrix}^T$ y $\begin{bmatrix}0 & 1\end{bmatrix}^T$ mientras que cualquier vector no nulo es un vector propio de $$ e^\boldsymbol{A}= \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}. $$

¿Existen condiciones interesantes que garanticen que $\boldsymbol{A}$ y $e^\boldsymbol{A}$ tienen exactamente los mismos vectores propios?

Answer 1

Creo que las condiciones suficientes son que $A$ y $e^A$ tienen el mismo número de valores propios distintos.

Lo que realmente necesitamos demostrar es que los eigenspaces de $A$ y $e^A$ son los mismos:

Dejemos que $\sigma(A)=\{\lambda_1,\dots,\lambda_m\}$ denota el espectro de $A$ (el conjunto de valores propios de $A$ ) y que $V_k$ sea el eigespacio de $A$ asociado a $\lambda_k$ (es decir, el conjunto de vectores $v$ tal que $Av=\lambda_k v$ ). A partir de la definición de $e^A$ se deduce que

$$\{e^{\lambda_1},\dots,e^{\lambda_m}\}\subseteq\sigma(e^A).$$

Además, si $U_k$ denota el eigespacio de $e^A$ asociado a $e^{\lambda_k}$ es fácil ver que $V_k\subseteq U_k$ . Desde, $A$ y $e^A$ tienen el mismo número de valores propios, el $e^{\lambda_k}$ s son distintos. Lo que implica que si $v$ pertenece a cualquier $V_i$ con $i\neq k$ entonces $v$ no pertenece a $U_k$ . Desde $\mathbb{R}^n$ es atravesado por la unión de los $V_k$ s, también está atravesado por la unión de los $U_k$ s. Combinando las dos últimas frases tenemos que $U_k=V_k$ que da el resultado deseado.

Edición: Si se te ocurre una forma sencilla de argumentar que $\{e^{\lambda_1},\dots,e^{\lambda_m}\}\supseteq\sigma(e^A)$ (de momento no puedo), entonces es fácil argumentar que las anteriores son también condiciones necesarias: Si no tienen el mismo número de valores propios, entonces $e^{\lambda_i}=e^{\lambda_j}$ para algunos $i,j$ . En cuyo caso puede elegir $v\in V_i$ y $w\in V_j$ y tienes que $v+w$ es un vector propio de $e^A$ pero no de $A$ .

Answer 2

Se puede suponer sin pérdida de generalidad que $A$ está en la forma normal de Jordania, por lo que

$$A = \begin{bmatrix} J_1 & 0 & 0 & \dotsb & 0\\ 0 & J_2 & 0 & \dotsb & 0\\ \vdots & & \ddots & \ddots & \vdots\\ 0 & \dotsb & 0 & J_{r-1} & 0\\ 0 & \dotsb & \dotsb & 0 & J_r\end{bmatrix}$$

con los bloques de Jordan $J_\rho$ al valor propio $\lambda_\rho$ . Entonces tienes

$$e^A = \begin{bmatrix} e^{J_1} & 0 & 0 & \dotsb & 0\\ 0 & e^{J_2} & 0 & \dotsb & 0\\ \vdots & & \ddots & \ddots & \vdots\\ 0 & \dotsb & 0 & e^{J_{r-1}} & 0\\ 0 & \dotsb & \dotsb & 0 & e^{J_r}\end{bmatrix}$$

y cada $e^{J_\rho}$ tiene la forma $e^{\lambda_\rho}\cdot I_{k\times k} + N$ con una forma triangular estrictamente superior (o inferior, depende de lo que se considere la forma normal de Jordan) $k\times k$ matriz con todos los $1$ s en la diagonal de salida, por lo que la forma normal de Jordan de $e^A$ tiene la misma estructura que la de $A$ sólo los valores propios $\lambda_\rho$ se sustituyen por los valores propios $e^{\lambda_\rho}$ .

Los eigenspaces de $e^{A}$ son, por tanto, exactamente los eigenspaces de $A$ , a menos que $A$ tiene valores propios $\lambda_1 \neq \lambda_2$ con $e^{\lambda_1} = e^{\lambda_2}$ , en cuyo caso tienes

$$E_A(\lambda_1) \oplus E_A(\lambda_2) \subset E_{e^A}(e^{\lambda_1}),$$

con igualdad si no hay $\lambda_3 \notin \{\lambda_1,\,\lambda_2\}$ con $e^{\lambda_3} = e^{\lambda_1}$ . Generalmente, usted tiene

$$E_{e^A}(e^{\lambda_1}) = \bigoplus_{e^\lambda = e^{\lambda_1}} E_A(\lambda).$$

Así que la respuesta es que $A$ y $e^A$ tienen exactamente los mismos espacios electrónicos si y sólo si $A$ no tiene ningún par de valores propios distintos $(\lambda_1,\lambda_2)$ con $e^{\lambda_1} = e^{\lambda_2}$ o, de forma equivalente, si y sólo si no hay dos valores propios de $A$ difieren en un múltiplo integral de $2\pi i$ .