Por favor, ayúdame a comenzar este problema en homomorfismos.

Question

Deje$G$ ser un grupo. Demuestre que los siguientes son equivalentes: (a)$G$ es abeliano (b)$f$:$G\rightarrow G$ definido por$f(x) = x^{-1}$ es un homomorfismo. (c)$f : G \rightarrow G$ definido por$f(x) = x^2$ es un homomorfismo.

El problema es probar que son equivalentes. ¿Eso significa que a implica b, b implica c, c implica b, b implica a, a implica c, c implica a?

Answer 1

Por ejemplo, suponga que (a), entonces tenemos que comprobar $f(x)=x^{-1}$ es un homomorphism.

Deje $x,y \in G$$f(xy)=(xy)^{-1}$. Desde $G$ es abelian (estamos suponiendo (a)), a continuación,$(xy)^{-1}=x^{-1}y^{-1}$$f(xy)=(xy)^{-1}=x^{-1}y^{-1}=f(x)f(y)$. De modo que (b) posee

Ahora suponga que (b) y tenemos que demostrar (c).

Deje $x,y \in G$, entonces a partir de la $(b)$ mantiene tenemos que $f(xy)=f(x)f(y)$, que es:

$x^{-1}y^{-1}=(xy)^{-1}$

Por otro lado es siempre el caso de que $(xy)^{-1}=y^{-1}x^{-1}$ por lo tanto:

$(yx)^{-1}=(xy)^{-1}$

Por lo tanto $yx=xy$.

Por lo tanto $f(xy)=(xy)^{2}=(xy)(xy)=x(yx)y=x(xy)y=x^{2}y^{2}$ $f$ es un homomorphism.

Ahora acaba de mostrar $c$ implica $a$.

Answer 2

$(a) \Rightarrow (b)$:

$f(xy) = (xy)^{-1} = y^{-1}x^{-1} = x^{-1}y^{-1} = f(x)f(y)$

Por lo $f$ es de hecho un homomorphism.

$(b) \Rightarrow (a)$, o realmente no$(a) \Rightarrow$$(b)$:

Deje $x$ $y$ dos elementos que no conmutan. Entonces

$f(xy) = (xy)^{-1} = y^{-1}x^{-1}$ pero $f(x)f(y) = x^{-1}y^{-1}$

Desde $x$ $y$ no conmuta, sus inversas, no se puede conmutar, ya que entonces tendríamos

$xy = ((xy)^{-1})^{-1} = (y^{-1}x^{-1})^{-1} = (x^{-1}y^{-1})^{-1} = ((yx)^{-1})^{-1} = yx$

$(a) \Rightarrow (c)$:

$f(xy) = (xy)(xy) = xyxy = x^2y^2 = f(x)f(y)$

No$(a) \Rightarrow$$(c)$:

Deje $x$ $y$ dos elementos que no conmutan. Entonces tenemos

$f(xy) = (xy)(xy) = xyxy$ pero $f(x)f(y) = x^2y^2 = xxyy$

Estos no pueden ser iguales entre sí, ya que entonces tendríamos la contradicción

$xyxy = xxyy \Rightarrow x^{-1}xyxyy^{-1} = x^{-1}xxyyy^{-1} \Rightarrow yx = xy$

Por lo tanto ambos $(b)$ $(c)$ son equivalentes a $(a)$.

Answer 3

Significa que si tomas dos de ellos se implicarán el uno al otro. Entonces (a) implica (b) y (b) implica (a); (b) implica (c) y (c) implica (b); Para demostrar que son equivalentes, solo necesitas construir una cadena de implicaciones que te permitan pasar de una a la otra. Por ejemplo, si usted mostró que (a) implica (b), (b) implica (c), y (c) implica (a) que usted estaría listo. Para mostrar que (b) implica (a) solo observarías que (b) implica (c) y (c) implica (a).