Este es un famoso suma y hay varias maneras de acercarse a este. Aquí es una manera a través de un geométrica de la suma:
Tenemos el conocido suma
\begin{equation*}
1+x+x^2+\cdots =\frac{1}{1-x}.
\end{ecuación*}
Establecimiento $x=e^{i\theta},~0<\theta<2\pi~(x\neq 1)$ da
\begin{equation*}
1+e^{i\theta}+e^{2i\theta}+\cdots =(1-e^{i\theta})^{-1}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}i\cot(\frac{1}{2}\theta).
\end{ecuación*}
Igualando las partes reales vemos que
\begin{equation*}
\frac{1}{2}+\cos(\theta)+\cos(2\theta)+\cdots =0.
\end{ecuación*}
La sustitución de $\theta$ $\theta+\pi$ & el uso de la trigonométricas, además de fórmulas obtenemos
\begin{equation*}
\frac{1}{2}-\cos(\theta)+\cos(2\theta)-\cdots =0.
\end{ecuación*}
Integrar de $\theta=0$ $\theta=\phi$& escribir $\theta$ $\phi$ obtenemos
\begin{equation*}
\sin(\theta)-\frac{1}{2}\sin(2\theta)+\frac{1}{3}\sin(3\theta)-\cdots =\frac{1}{2}\theta,~-\pi<\theta<\pi
\end{ecuación*}
y esta serie es convergente. Integrando de nuevo da
\begin{equation*}
1-\cos(\theta)-\frac{1-\cos(2\theta)}{2^2}+\frac{1-\cos(3\theta)}{3^2}-\cdots =\frac{1}{4}\theta^2.
\end{ecuación*}
Establecimiento $\theta=\pi$ da
\begin{equation*}
1+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{5^2}+\cdots =\frac{1}{8}\pi^2.
\end{ecuación*}
Desde
\begin{equation*}
1+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{5^2}+\cdots =1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\cdots -\frac{1}{2^2}-\frac{1}{4^2}-\cdots
=(1-\frac{1}{4})(1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\cdots),
\end{ecuación*}
podemos deducir que
\begin{equation*}
1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\cdots = \sum^{\infty}_{n=1} \frac{1}{n^2} =\frac{1}{6}\pi^2.
\end{ecuación*}
Nota: también Podemos obtener la fórmula
\begin{equation*}
1-\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}-\cdots =\frac{1}{12}\pi^2
\end{ecuación*}
