Si $f$ es birracional, ¿el mapa pushforward sobre los grupos numéricos es suryectivo?

Question

Digamos que tengo un morfismo de variedades algebraicas proyectivas $f: X \to Y$ que es biracional. Existe un morfismo pushforward de ciclos $f_*: N_*(X) \to N_*(Y)$ .

Ahora bien, si pudiera retroceder ciclos y si tuviera una fórmula de proyección entonces podría decir que $f_*$ es sobreyectiva. De hecho, dado un ciclo $\alpha \in N_*(Y)$ Podría considerar $$f_*f^*\alpha = f_*f^*(\alpha \cdot [Y]) = f_*(f^*\alpha \cdot [X]) = \alpha \cdot f_*[X] = \alpha ,$$ dándome la subjetividad de $f_*$ .

En mi situación $X$ es regular y $Y$ es Gorenstein (y estoy trabajando sobre $\mathbb{C}$ ): ¿Puedo seguir diciendo que $f_*$ es subjetivo?

EDIT: si ayuda, estoy feliz de asumir que f es un isomorfismo en codimensión uno.

Answer 1

Creo que basta con demostrar la subjetividad en el nivel de los grupos de Picard. Es decir, basta con demostrar que $f_\ast:\textrm{Pic}(X) \to \textrm{Pic}(Y)$ es suryente. Dado un haz de líneas $L$ en $Y$ el retroceso $f^\ast L$ es un haz de líneas en $X$ . (Aquí se utiliza ese $f$ es )

Ahora, la fórmula de proyección muestra que $f_\ast f^\ast L \cong L$ . (Aquí se utiliza ese $f$ es birracional, y por tanto de grado $1$ en la fibra genérica).

Queda por ver por qué $f^\ast L$ es un haz de líneas...

Edición: He pensado un poco en ello. Creo que es fácil ver que $f^\ast L$ es un haz de líneas porque simplemente se puede calcular el tallo de $f^\ast L$ en un punto $x \in X$ ...