Prueba de álgebra lineal

Question

Los números verdaderos forman a espacio del vector sobre los racionales (con $\mathbb{Q}$ como el campo escalar).

¿Hay una prueba que hay que puedo estudiar o puede alguien por favor probarlo?

Answer 1

Tratar de probar la más general:

Lema: Si $\,F\subset K\,$ campos, entonces $\,K\,$ es un espacio del vector encima $\,F\,$

Compruebe que la suma de $\,K\,$ es la suma vectorial, y la multiplicación por escalares sucede todos lo $\,K\,$, así que...

Answer 2

¿Sabe usted que los axiomas de un espacio vectorial? Son una lista de reglas que un conjunto $V$ operaciones $+$ $\cdot$ tiene que cumplir para ser considerado como un espacio vectorial sobre F.
Por ejemplo:

$a+b=b+a \:$ todos los $a,b \in V$

$\lambda \cdot(a+b) = \lambda \cdot a + \lambda \cdot b $ todos los $a,b \in V$$\lambda \in F$.

Aquí está la lista completa: http://en.wikipedia.org/wiki/Vector_space#Definition

Todos esos axiomas son completamente evidente cuando se $F$ $\mathbb Q$ $V$ $ \mathbb R$ con la normal, además de (números reales) y la multiplicación (de un número racional con un número real) que se utilizan para. Así que no hay realmente nada que demostrar. Usted sólo tiene que mirar a través de los axiomas y se nota que le son verdaderas para este conjunto particular $V$ y campo de $F$ y por lo tanto podemos decir que el $V$ es un espacio vectorial sobre $F (=\mathbb Q)$.