Deje$k$ ser un campo algebraicamente cerrado. Permita que$\mathbb{P}^n$ sea un espacio proyectivo sobre$k$. Permita que$\mathbb{A}^m$ sea un espacio afín sobre$k$. ¿Es isomorfa una variedad casi proyectiva de una subvariedad cerrada de$\mathbb{P}^n\times \mathbb{A}^m$ para algunos$n, m$?
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Nir
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136
La variedad $X=\mathbb A ^2 \setminus \lbrace 0\rbrace $ no puede ser incrustado como una subvariedad cerrada $X\subset \mathbb{P}^n\times \mathbb{A}^m$.
En efecto, si se tratara de la restricción $p:X\to \mathbb A^m$ de la proyección de $\mathbb{P}^n\times \mathbb{A}^m \to \mathbb{A}^m$ sería adecuado para que las fibras estaría completa subvariedades de $X\subset \mathbb A^2$, por lo tanto necesariamente finita subconjuntos.
Pero, a continuación, $p$ siendo correcto con finito de fibras sería finita y por lo tanto una afín de morfismos .
Entonces, por la definición de las afín de morfismos, $X$ sería afín desde $\mathbb A^m$ está: pero esta es una conclusión absurda.
Referencia : he utilizado Corolario 12.89 en Görtz-Wedhorn de la Geometría Algebraica, la cual dice que es por un equivalente de morfismos ser finito o cuasi-finito y apropiado o afín y adecuada.
ApplePi
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21
No. Deje $X$ ser la variedad $\mathbf{A}^1-\{0\}$. Supongamos que $X$ es una subvariedad cerrada de $\mathbf{P}^n\times \mathbf{A}^m$. La proyección de $\mathbf{P}^n\times \mathbf{A}^m$ $\mathbf{A}^m$ es un proyectiva de morfismos. Por lo tanto, no es un proyectiva de morfismos de$\mathbf{A}^1-\{0\}$$\mathbf{A}^m$. Desde $\mathbf{A}^1-\{0\}$ es afín esto implica que $\mathbf{A}^1-\{0\}$ es también afín. No hay contradicción aquí! Pero....
Usted debe reemplazar el $\mathbf{A}^1-\{0\}$ $\mathbf{A}^2-\{0\}$ en la anterior. Usted va a obtener con el mismo razonamiento que hay un número finito de morfismos de $\mathbf{A}^2-\{0\}$ a algunos afín espacio. Esto implicaría que $\mathbf{A}^2-\{0\}$ es afín. Contradicción.
Aquí están algunas ideas sobre cómo mostrar "finito" = "cuasi-finito + adecuado". Escribí esto en un apuro, pero creo que va a ayudar a que el OP obtener en el camino correcto. Permítanme mostrarles que finito implica cuasi-finito y adecuada.
Finito morfismos son afines. De modo que para comprobar que finito implica cuasi-finito puede considerar un número finito de morfismos de anillos de $A\to B$. Deje $p$ ser un primer ideal de $A$. Quiere mostrar que hay sólo un número finito de primer ideales $q$ $B$ tal que $q\cap A$$p$. Esto es equivalente a mostrar que la Spec $B\to$ Espec $A$ es cuasi-finito. Para demostrar esta afirmación sólo se necesita la definición de lo que es un anillo finito de morfismos. Para mostrar que "finito" implica "adecuada" de la primera nota de nuevo que "finito" implica "afín". A continuación, la nota de que "afín" implica "separados". Además, "finito" implica claramente "finito tipo" (por definición). Lo que tiene que ver que finito morfismos son "universalmente" cerrado". Desde "finito" es "invariante bajo cambio de base", es suficiente para comprobar que un número finito de morfismos es cerrado. Para comprobar que un número finito de morfismos es cerrado se puede razonar de forma local. Así que usted ha $A\to B$ de un número finito de anillo de morfismos. Tomar una cerrada de Espec $B$. Esto corresponde a un ideal de a $I$. Usted puede reducir al caso de $I=(0)$ reemplazando $B$$B/I$. Ahora, ¿qué significa para Spec $B \to$ Espec $A$ a ser cerrado?
La otra implicación es un poco más difícil. Esto es suficiente para mostrar que una adecuada morfismos de afín esquemas es finito. Esto se puede encontrar en Liu, el libro de la geometría algebraica. No tengo el libro conmigo ahora, así que voy a tener que buscar en los capítulos pertinentes sobre los "adecuada" morfismos y "finito" morfismos.
