¿Cuál es la estructura algebraica que las reglas de la "Álgebra" de? ¿Es un "Álgebra"?

Question

Es sido un tiempo desde que he estudiado álgebra abstracta. Pero estoy últimamente la enseñanza de algunos estudiantes de la escuela secundaria "Álgebra". En este nivel, básicamente, esto significa trabajar con variables, y la comprensión de que ciertas reglas para mantener a esas variables (que representan los números reales). Por ejemplo:

$$ (a+b)^2 = a^2 +2ab + b^2 \\ a^na^m = a^{n+m} \\ x^2+bx+c = (x+m)(x+n) \quad \text{si } m+n=b \text{ y } mn =c $$

Ahora en los libros que mi secundaria, los estudiantes leen, ellos nunca se menciona de qué tipo de elementos, reglas como éstas son verdaderas. Simplemente el estado de esas reglas.

En primer lugar, yo estaba pensando que esto era simplemente descuidado. Yo hubiera escrito algo como para números reales $a,b$ la siguiente regla: se ...

Pero luego me di cuenta de que, esperar, esas normas son, por supuesto, mucho más general. Y también puedo recordar una vez habiendo aprendido que hay algo así como un Álgebra, que es de alguna estructura algebraica con algunas reglas que se definen en ella.

Yo tal vez ver las conexiones que no están realmente aquí. Pero es el tema "Álgebra" en la secundaria, llamada Álgebra porque las reglas que aprenden son válidos para cualquier Álgebra como una estructura algebraica? Es que también la razón de que no se especifica que las normas son válidas para los números reales, porque las reglas son en realidad mucho más general (pero no formalmente aprendido acerca de los más general de las estructuras, por lo que no puede especificarlo).

Answer 1

Creo que la estructura que desea es conocido como un anillo conmutativo. Un anillo básicamente te permite multiplicar, sumar y restar las cosas y terminar con algo más en el ring de nuevo.

Algunos ejemplos incluyen

• Los números reales
• Los números complejos
• Enteros aka números enteros
• $n \times n$ matrices (a través de cualquier anillo)
• Polinomios, es decir, las expresiones $a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + \cdots a_0$ (donde el $a_i$ vive en cualquier anillo)

La propiedad conmutativa significa que la multiplicación no se preocupa de orden: $a \times b = b \times a$. Esto es cierto para los tres primeros ejemplos, pero las matrices son normalmente el primer caso, las personas aprender correctamente cuando esto no es cierto. Polinomios será conmutativa si el anillo donde el $a_i$ vive.

EDITAR:

Conmutatividad es importante para sus top "regla": tenga en cuenta que al expandir los soportes consigue $(a+b)^2=(a+b)(a+b)=a^2+ab+ba+b^2$. Para obtener la regla, debemos tener $ab=ba$, que es precisamente la conmutatividad parte. (Por extraño que parezca, en realidad no necesita conmutatividad del polinomio anillo de su pasado "regla" como $ax=xa$ cualquier $a$, que es la razón por la que originalmente no los mencionó.)

Algunos otros han mencionado campos: estas son anillos conmutativos donde se puede dividir por cosas así, por lo que siempre que no sea cero: los números reales y los números complejos satisfacer esta, pero los números enteros y polinomios no.

Answer 2

No, yo también creo que es descuidado. Por ejemplo, la "regla" $a^n a^m = a^{n+m}$ no se sostiene si usted se considera negativo $a$ y no enteros $n$, $m$. "Reglas" no son "reglas" que uno debe aplicar ciegamente, son teoremas, y los teoremas tienen hipótesis. Es crucial para el estado lo que estas hipótesis son, de otra manera no las matemáticas.

No se indica esas hipótesis es también la configuración de los estudiantes para el fracaso más tarde, cuando se encuentran con la configuración de donde las "reglas" no pulsado (los números complejos, por ejemplo), o cuando se encuentran más complicados teoremas complicadas hipótesis que se necesita para comprobar (creo que de los teoremas de análisis real). Si no se utiliza para la comprobación de hipótesis, o incluso sabiendo que podría ser la hipótesis a comprobar, van a tener un mal momento.

Como por donde esas "reglas" hold, depende. El que dijo en un anillo, en general (suponiendo que $m$, $n$ son enteros). Los anillos son clases particulares de álgebra de operadores, es decir, álgebras sobre el ring $\mathbb{Z}$ (sí, ese es un poco circular). Pero no todas las "reglas" que los alumnos se van a encontrar en el Álgebra proviene de "reglas" en álgebras (plural). Por ejemplo, si usted tiene alguna regla con raíces cuadradas (por ejemplo,$\sqrt{x^2} = |x|$), entonces esta sería una configuración diferente, porque no existe el concepto de raíz cuadrada en álgebras.

Álgebras son sólo uno de una gran cantidad de estructura algebraica. Álgebra (el matemático campo de estudio) no es sólo acerca de álgebras (el tipo de estructura algebraica). Tiene grupos, anillos, espacios vectoriales, campos, matrices... un Montón de cosas. Echa un vistazo a la página de Wikipedia para el Álgebra. También tienen una lista de estructura algebraica (incompleta, por supuesto).