¿Prueba de Fermat ' último teorema s $n=5$ con raíces primitivas de la unidad?

Question

He estado leyendo "Una introducción a la teoría de los números" por Hardy y Wright y dieron una buena prueba del último teorema de Fermat para $n=3$ demostrando que no hay soluciones a $$x^3+y^3+z^3=0$$ where $x$,$s$, and $z$ are numbers of the form $a+bp$ where $$ and $b$ son números enteros y

$$p=e^{2/3\pi i}=\frac 12\Big(-1+\sqrt{3}i\Big)$$ which is a primitive third root of unity. The general approach of the proof is to factor $x^3+y^3$ into $$(x+y)(x+py)(x+p^2y)$$

También entonces afirmar que la prueba de la FLT para n=5 es muy similar, pero utiliza $p=e^{2/5\pi i}$ que es una primitiva de la quinta raíz de la unidad.

Mi pregunta es, ¿alguien sabe donde puedo encontrar esta prueba?

Estoy buscando una prueba de FLT para $n=5$ que utiliza las propiedades de los enteros de la forma $a+bp$, y específicamente el hecho de que $x^5+y^5$ factores $$(x+y)(x+py)(x+p^2y)(x+p^3y)(x+p^4y)$$ no espero a nadie a escribir hasta la plena prueba, sino un enlace o referencia sería bueno.

Answer 1

Primero de todo, en $\mathbb{Z}[\zeta]$$\zeta=e^{2\pi i/5}$, los elementos están dados por $a+b\zeta+c\zeta^2+d\zeta^3$. Para demostrar Fermats último teorema, se puede distinguir entre dos casos: 5 no divide $x$, $y$ o $z$, y en el otro caso, $5$ sólo divide a $z$ (si $5$ divide $x$, a continuación, cambie $x$$z$). El segundo caso es más difícil de probar que el primer caso. Tenga en cuenta que $\mathbb{Z}[\zeta]$ es una única factorización de dominio.

El resumen es el siguiente. Se puede demostrar que los factores en la factorización de $x^5+y^5$ son parejas coprime, aquí se utiliza se $5$ no divide $xyz$. Debido a $x^5+y^5=z^5$, los elementos principales de cada factor de aparecer con un quinto poder. Debido a $x+y\zeta=ua^5$ $u$ unidad $a\in\mathbb{Z}[\zeta]$, se deduce que el $x\equiv y\pmod{5}$. Aquí se usa que cada unidad en $\mathbb{Z}[\zeta]$ es el producto de una verdadera unidad y algún poder de $\zeta$. La repetición de este con $x^5+(-z)^5=(-y)^5$, se deduce que el $x\equiv-z\pmod{5}$.

De esto se deduce que $$x^5+y^5\equiv2x^5\equiv(-x)^5\pmod{5}$$ and $3x^5\equiv0\pmod{5}$, de los cuales una contradicción de la siguiente manera.

Una buena fuente para esta prueba es el Número de Campos por Daniel A. Marcus. La prueba para el segundo caso se puede encontrar en la Teoría de los números por Borevich y Shafarevich. Si usted entiende holandés, usted también puede leer mi tesis de licenciatura sobre el último teorema de Fermat para regular los números primos, que estoy escribiendo en este momento.