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El conjunto vacío en términos de teoría de homotopía (como un simplicial / espacio de arriba.)

Actualmente estoy confundido sobre el conjunto vacío en términos de sus componentes de la ruta y cómo esto encaja en el Quillen contigüidad entre espacios topológicos y simplicial conjuntos. Probablemente, una de mis definiciones no son precisamente correcta:

La categoría de simplicial conjuntos es un cofibrantly modelo generado categoría con la generación de acíclicos cofibrations las inclusiones de todos los cuernos en el estándar simplicial conjuntos. El mapa de $\emptyset \to \Delta^0$ es un cuerno de inclusión, por lo que debe ser un acíclicos cofibration.

Sin embargo, un acíclicos cofibration es un débil equivalencia, por lo que debe inducir isomorphisms en todos los homotopy grupos después de la realización. La realización de este mapa es el mapa $\emptyset \to \ast$ de los espacios topológicos y este debe ser un débil equivalencia, es decir, inducir isomorphisms en todos los homotopy grupos ($k \geq 0$) para todos los basepoints: $\pi_k (\emptyset,x) \to \pi_k(\ast,y)$

Sin embargo, $\emptyset$ no tiene ningún basepoints, de tal manera que la condición está vacía, así que $\emptyset \to \ast$ es un débil equivalencia. Pero esto se siente terriblemente mal para mí, porque implica que el emptyset es débilmente homotopy equivalente a cualquier espacio. Se puede encontrar una solución, haciendo un punto de base independiente de la definición de $\pi_0$ y ponerlo en clases de equivalencia de puntos. A continuación,$\pi_0 (\emptyset) = \emptyset$$\pi_0(\ast) = \ast$, lo $\emptyset \to \ast$ no es un débil equivalencia.

Pero esto a su vez implica que $\emptyset \to \Delta^0$ no es un acíclicos cofibration de simplicial conjuntos, porque no es un débil equivalencia después de la realización.

Así que no me parece la correcta definición de $\pi_0$ sea compatible con el Quillen contigüidad, pero creo que es un error en mi razonamiento en algún lugar.

Cualquier ayuda sería muy apreciada.

Alex

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Jon Puntos 196

Gracias por sus respuestas. Sobre la base del debate, los siguientes convenios debe ser coherente y conveniente:

  • El conjunto de cuerno de inclusiones es el conjunto $\{ \Lambda^n_k \to \Delta^n\ |\ n \geq 1,\ 0 \leq k \leq n \}$. Este es el conjunto de la generación de acíclicos cofibrations para el modelo estándar de la estructura (unpointed) simplicial conjuntos.

  • Un mapa de $f: X \to Y$ de los espacios es un débil equivalencia, si $\pi_1 (X) \to \pi_1 (Y)$ es una equivalencia de groupoids y $\pi_k (X,x) \to \pi_k (Y,f(x))$ es un isomorfismo de abelian grupos para $k > 1$.

Ya tenemos $\pi_1 (\emptyset) = \emptyset$ e este groupoid no es equivalente a cualquier otro groupoid (que surgiría de un no-espacio vacío), esto le da al conjunto vacío una clara homotopy clase.

Esto es consistente en el sentido de que hace geométricas realización en una izquierda Quillen functor entre simplicial conjuntos y espacios topológicos (tanto unpointed).

Para Kan fibrations, esto implica que una Kan fibration no es necesariamente surjective (aunque un trivial Kan fibration es debido a que $\partial \Delta^0 = \emptyset \to \Delta^0$ es una generación de cofibration. Esto corresponde muy bien a la situación en los espacios topológicos nivel, donde un Serre fibration no es necesariamente surjective, pero un trivial Serre fibration es.

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Aleksandr Levchuk Puntos 1110

Hirschhorn [Modelo de categorías y sus localizaciones] escribe:

Definición 7.10.8. Si $f : X \to Y$ es un mapa de simplicial conjuntos, entonces

  • $f$ es un débil equivalencia si la geometría de su realización $\left| f \right| : \left| X \right| \to \left| Y \right|$ es un débil equivalencia de espacios topológicos,
  • $f$ es un fibration si es un Kan fibration, es decir, si se tiene el derecho de levantar de la propiedad con respecto a la mapa $\Lambda [n, k] \to \Delta [n]$ todos los $n > 0$$0 \le k \le n$, y
  • $f$ es un cofibration si tiene la izquierda de elevación de la propiedad con respecto a todos los mapas que son fibrations y débiles de las equivalencias.

En otras palabras, $\emptyset \hookrightarrow \Delta^0$ es no un cuerno de inclusión... al menos de acuerdo a esta definición.

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