Actualmente estoy confundido sobre el conjunto vacío en términos de sus componentes de la ruta y cómo esto encaja en el Quillen contigüidad entre espacios topológicos y simplicial conjuntos. Probablemente, una de mis definiciones no son precisamente correcta:
La categoría de simplicial conjuntos es un cofibrantly modelo generado categoría con la generación de acíclicos cofibrations las inclusiones de todos los cuernos en el estándar simplicial conjuntos. El mapa de $\emptyset \to \Delta^0$ es un cuerno de inclusión, por lo que debe ser un acíclicos cofibration.
Sin embargo, un acíclicos cofibration es un débil equivalencia, por lo que debe inducir isomorphisms en todos los homotopy grupos después de la realización. La realización de este mapa es el mapa $\emptyset \to \ast$ de los espacios topológicos y este debe ser un débil equivalencia, es decir, inducir isomorphisms en todos los homotopy grupos ($k \geq 0$) para todos los basepoints: $\pi_k (\emptyset,x) \to \pi_k(\ast,y)$
Sin embargo, $\emptyset$ no tiene ningún basepoints, de tal manera que la condición está vacía, así que $\emptyset \to \ast$ es un débil equivalencia. Pero esto se siente terriblemente mal para mí, porque implica que el emptyset es débilmente homotopy equivalente a cualquier espacio. Se puede encontrar una solución, haciendo un punto de base independiente de la definición de $\pi_0$ y ponerlo en clases de equivalencia de puntos. A continuación,$\pi_0 (\emptyset) = \emptyset$$\pi_0(\ast) = \ast$, lo $\emptyset \to \ast$ no es un débil equivalencia.
Pero esto a su vez implica que $\emptyset \to \Delta^0$ no es un acíclicos cofibration de simplicial conjuntos, porque no es un débil equivalencia después de la realización.
Así que no me parece la correcta definición de $\pi_0$ sea compatible con el Quillen contigüidad, pero creo que es un error en mi razonamiento en algún lugar.
Cualquier ayuda sería muy apreciada.
Alex