De cualquier manera clara y ordenada para el cálculo de este Vandermonde-como determinante?

Question

Deje $x_i,i\in\{1,\cdots,n\}$ ser números reales, y $s_k=x_1^k+\cdots+x_n^k$, me piden calcular $$ |S|:= \begin{vmatrix} s_0 & s_1 & s_2 & \cdots & s_{n-1}\\ s_1 & s_2 & s_3 & \cdots & s_n\\ s_2 & s_3 & s_4 & \cdots & s_{n+1}\\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ s_{n-1} & s_{n} & s_{n+1} & \cdots & s_{2n-2} \end{vmatrix} $$ y para demostrar que $|S|\ge 0$ para todos los posibles real $x_i$.

He encontrado que $$ |S|=\det[(v_1+\cdots v_n), (x_1v_1+\cdots+x_nv_n),\cdots,(x_1^{n-1}v_1+\cdots+x_n^{n-1}v_n)],\quad\text{donde}\, v_j=\begin{bmatrix} 1 \\ x_j \\ \vdots\\ x_j^{n-1} \end{bmatrix} $$ Debido a la multilinealidad de la $\det$ función, tengo la sensación de que podría tener algo que ver con el determinante de Vandermonde. De hecho, debe tener la forma $$|S|=(\det[v_1,\cdots, v_n])\cdot \text{something}$$ Pero ese "algo" implica muchas cíclico sumas y es por lo tanto un horrible lío..

De todos modos, ¿hay una buena manera de calcular este complicado determinante? Gracias!

Answer 1

Sugerencia:

$$\begin{bmatrix}1&1&1\\x_1&x_2&x_3\\x_1^2&x_2^2&x_3^2\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1&x_1&x_1^2\\1&x_2&x_2^2\\1&x_3&x_3^2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1+1+1&x_1+x_2+x_3&x_1^2+x_2^2+x_3^2\\x_1+x_2+x_3&x_1^2+x_2^2+x_3^2&x_1^3+x_2^3+x_3^3\\x_1^2+x_2^2+x_3^2&x_1^3+x_2^3+x_3^3&x_1^4+x_2^4+x_3^4\end{bmatrix}$$

Answer 2

Otra forma de la fórmula: creo que tenemos casi terminado el trabajo.

Considero que la fórmula con la $v_k$. Reemplazarlos por $w_1,..,w_n$ cualquier vectores en $E=\mathbb{R}^n$. Su fórmula, a continuación, dar una aplicación $f(w_1,..w_n)$$E^n$$\mathbb{R}$, y ha ver que esto es $a{\rm det}(w_1,...,w_n)$ por una constante $a$, dependiendo de la $x_k$, pero no en el $w_k$. Ahora para encontrar $a$, usted puede tomar para el $w_k$, los vectores de la base canónica de $E$, y es fácil acabado.