Una pregunta básica sobre mapas lineales y forma triangular superior

Question

Permita que$S$ y$T$ sean dos mapas lineales de$V$ a$V$ ($V$ espacio vectorial complejo) tales que$ST=TS$. Necesito probar que existe una base con respecto a la cual ambas matrices están en forma triangular superior. Cómo proceder ?

Como$V$ es un espacio vectorial complejo, existe una base wrt a la que cualquier mapa lineal puede triangularse en la parte superior. Pero cómo demostrar que tanto$S$ como$T$ se pueden triangularizar con la misma base.

Answer 1

Paso 1: Si $S$ $T$ son los desplazamientos lineales, mapas, entonces para cualquier valor propio $\lambda$, vamos a $V_{\lambda}$ $\lambda$- espacio propio para $S$. A continuación, $V_{\lambda}$ $T$- invariante: $T V_{\lambda} \subset V_{\lambda}$.

Paso 2: Desde el campo escalar es $\mathbb{C}$, la restricción de $T$ $V_{\lambda}$tiene un autovector $v$, que es simultánea autovector de a$S$$T$. Por lo tanto cualquiera de los dos desplazamientos endomorphisms de un finito-dimensional $\mathbb{C}$-espacio vectorial tienen en común un vector propio.

Paso 3: Revisar el favorito de la prueba de la triangularizability de $S$. En esa prueba, cada vez que vea un autovector de a $S$, utilice el Paso 2 para obtener simultánea de un autovector de a$S$$T$. Verificar que la prueba para $S$ trabaja para dar un simultánea triangularization para$S$$T$.

Observación: Para cualquier escalar campo $F$, los desplazamientos triangularizable endomorphisms de un finito-dimensional $F$-espacio vectorial son simultáneamente triangularizable. Para modificar la anterior prueba para producir esto, tenemos que recordar que un endomorfismo es triangularizable iff su polinomio mínimo es de split, es decir, los factores de un producto lineal de los polinomios. Si es así, entonces el polinomio mínimo de la endomorfismo restringido para cualquier subespacio invariante divide el original mínima polinomio por lo que también se divide, por tanto, en el Paso 2 por encima de la requerida autovector va a existir más de $F$.

(Este comentario fue parcialmente motivado por Alex Youcis del comentario. En mi opinión, hablando unitario triangularizability está aportando en la prórroga de la estructura que no es necesario para resolver el problema. A menos que usted la atención específicamente sobre unitario triangularizability, por supuesto, pero el OP no mencionar que.)