¿un germen de un suave (es decir, $C^\infty$ ) en un punto de una variedad siempre se extiende a una función global suave?

Question

Obviamente, esto no es así si sustituimos "suave" por algo como "analítico" o "regular", que son los contextos con los que estoy más familiarizado. Y obviamente no podemos extender una función suave definida en un conjunto abierto arbitrario a una función global. Pero, por lo que veo, parece que bien podríamos extender un germen arbitrario a una función global.

Imagino que es una pregunta bastante tonta desde la perspectiva de alguien que sepa aunque sea un poco de geometría diferencial, pero no fui capaz de encontrar una respuesta rápidamente buscando en Google.

Answer 1

Dejemos que $f$ sea suave alrededor de un punto del colector $M$ . A través de un mapa, tenemos una función suave sobre una pequeña bola abierta en $\mathbb R^n$ . Utilizando una construcción estándar de una función suave que es $0$ fuera de ese balón abierto y $1$ en una bola más pequeña, podemos extender el germen suave a todo $\mathbb R^n$ y, por tanto, a todos los $M$ (tomando el valor $0$ fuera del mapa con el que empezamos).