Resolución de un PDE por Series de Fourier

Question

Quiero resolver el siguiente PDE: $$\begin{cases} u_t=u_{xx}+1\\ u_x(0,t)=0, \quad u(1,t)=0\\ u(x,0)=\cos\left(\frac{\pi}{2}x\right) \end{casos}$$ mediante una serie de Fourier.

La cosa que está tirando de mí es el $+1$ en el PDE. He intentado usando separación de variables y se puso complicado, ya que $u(x,t)=A(x)B(t) \implies A(x)B'(t)=A''(x)B(t)+1 \implies \frac{B'(t)}{B(t)}=\frac{A''(x)}{A(x)}+\frac{1}{A(x)B(t)}$, por lo que no se puede decir, ambos lados están en constante desde el lado derecho tiene un plazo de $t$.

Sé que $\cos\left(\left(\frac{\pi}{2}+n\pi \right)x\right)$ satisface las necesarias condiciones de contorno, y yo podría resolver este para $u_t=u_{xx}$ muy fácil darle una serie de fourier $$u(x,t)=\frac{a_o}{2}+\sum\limits_{n=1}^\infty a_n e^{-t(\pi(1/2+n))^2}\cos\left(\left(\frac{1}{2}+n\right)\pi x\right)$$ donde $a_n=2\int_0^1\cos\left(\frac{\pi}{2}x\right)\cos\left(\left(\frac{\pi}{2}+\pi n\right)x \right)dx$. Debido a la ortogonalidad de estos, sé que se simplifican pero no puedo averiguar cómo desde los coeficientes de $x$ no son enteros.

Puedo usar esto para encontrar una solución para $u_t=u_{xx}+1$? Es tan simple como agregar un $t$ plazo para el término exponencial de la serie de fourier o hace que arruinar el resultado?

Entonces necesitamos para determinar el límite de $\displaystyle u_\infty(x)=\lim_{t \rightarrow \infty}u(x,t)$ explícitamente, y no estoy muy seguro de lo que eso significa.

Answer 1

Contestaré a tu pregunta última de determinar el límite de su solución:

Siguió la pista de @science con la separación de variables, luego aplica su límite y las condiciones iniciales, para obtener la solución $$u(x,t)=\frac{a_0}2+a_n e^{-(\frac{\pi}2 +2\pi n)^2 t} \cos\left(\left(\frac{\pi}2 +2\pi n\right)x\right)-\frac 12x^2,$$ where $$a_n = 2\int_0^1 \cos^2\left(\left(\frac{\pi}2 +2\pi n\right)x\right) \, dx$$ is a Fourier coefficient, for every $n\in {0,1,2,3,4,\ldots}$.

Sabemos que $\lim_{t \to \infty} e^{-(\frac {\pi}2+2\pi n)^2t}=0$ y $a0=1$ de encontrar. Por lo tanto, concluimos $$u\infty(x)=\lim_{t \to \infty} u(x,t)=\frac 12(1-x^2).$ $

Answer 2

Tras el comentario. Se puede considerar en general

$$ u(x,t) = F(x)G(t) - \frac{1}{2 a_2}( a_2x^2+a_1x+a_0 ). $$