Una suma infinita basada en la paridad del mod de Euler ' función φ

Question

Deje $\bmod( m,k )$ el resto al $m$ se divide por $k$: $0,1,\ldots,m{-}1$. Deje $\phi(n)$ ser de Euler totient función de: el número de relativamente números primos menores que $n$. Así que para $$n=(1,2,3,4,5,6,7,8,9,10) \;,$$ $$\phi(n)=(1,1,2,2,4,2,6,4,6,4) \;.$$ Definir $$c_3 = \sum_{n=1}^\infty \frac{\bmod( \phi(n),3)}{3^n} \;.$$ Para $n=1,\ldots,10$, $$\bmod( \phi(n),3)=(1,1,2,2,1,2,0,1,0,1) \;,$$ y la suma de hasta $n{=}10$$\frac{32491}{59049} \approx 0.5502379380$. Porque $\sum 2/3^n = 1$, $c_3 < 1$.

Q. Ha esta suma $c_3$ ha estudiado? Es irracional?

Tenga en cuenta que $c_2 = \frac{3}{4}$ (debido a $\phi(n)$ es incluso para $n>3$), pero $c_k$, $k > 2$ parece claro. Por lo que les pedimos información para el primer interesante suma, cuando el $k{=}3$.

Answer 1

$c_k$ es demostrablemente irracional para todos los $k>2$.

Tenga en cuenta que para cualquier fija $k>2$, hay una infinidad de $n$$k \nmid \phi(n)$: si $k$ tiene un divisor impar $q$, a continuación, recoger $n$ principal $\equiv 2 \pmod q$; de lo contrario $4 \mid k$, en cuyo caso pick $n$ principal $\equiv 3 \pmod 4$.

Es fácil ver que también se $k \mid \phi(n)$ para infinidad de $n$; en particular, la base-$k$ dígitos de $c_k$ corresponden como se esperaba para el mod-$k$ residuos de $\phi(n)$ (no hay degeneraciones como 0.12323499999... = 0.123235 de problemas más).

Supongamos que $c_k$ es racional. Luego de su base-$k$ dígitos son finalmente periódica con un periodo $M$. Ya que hay infinidad de $n$ con $k \nmid \phi(n)$, $c_k$ tiene al menos uno distinto de cero dígitos dentro de este período. En particular, hay algunos $i>0$ tal que $k \nmid \phi(i+Mj)$ todos los $j\ge 0$ (una progresión aritmética de la no-cero dígitos).

Pero esto es imposible: dejar $p$ ser cualquier primer congruente a $1 \pmod k$ que es mayor que $M$ (y por lo tanto relativamente primer a $M$). A continuación, $\{Mj: j \in \mathbb N\}$ formas una completa residuo conjunto de mod $p$, lo que significa que $p \mid (i+Mj_0)$ algunos $0 \le j_0 < p$. Pero, a continuación,$\phi(i+Mj_0) \equiv 0 \pmod k$, una contradicción.

Creo que podría mostrar más fuerte de que el número de $n$ que $k \nmid \phi(n)$ es sublinear, y esto daría otra prueba de la irracionalidad (la no-cero dígitos son muy escasos).